[论文解读] Multiple polylogarithms, cyclotomy and modular complexes

A. B. Goncharov|arXiv (Cornell University)|May 10, 2011

Advanced Mathematical Identities参考文献 6被引用 20

一句话总结

本文通过 cyclotomic 李代数和模形式复形，建立了在单位根处取值的多 polylogarithm 与算术群上同调之间的深刻联系。它构造了一个二面体李余代数，并证明了在低深度关系下，多重 zeta 值的空间同构于 $GL_m(\mathbb{Z})$ 的模形式复形的上同调，通过对称空间和迭代积分，为这些代数结构提供了几何实现。

ABSTRACT

This is a copy of the article published in Math Res. Letters 5, (1998) 497-516.

研究动机与目标

• 理解在单位根处取值的多 polylogarithm 的代数与算术结构。
• 通过模形式复形，将多重 zeta 值的空间与算术群的上同调联系起来。
• 在对称空间 $SL_m(\mathbb{R})/SO_m$ 中，为模形式复形提供几何实现。
• 建立多重 zeta 值代数与 cyclotomic 李代数对偶之间的猜想同构。
• 为通过李代数与同调工具研究高阶分圆提供一个框架。

提出的方法

• 将二面体李余代数 $\mathcal{D}_{\bullet,\bullet}(\mu_N)$ 定义为在 $N$ 次单位根处取值的多 polylogarithm 空间的商。
• 通过迭代积分表示和渐近展开，定义正则化映射 $\operatorname{Reg}Li_{n_1,\dots,n_m}(x_1,\dots,x_m)$。
• 通过对称空间几何，将 $GL_m(\mathbb{Z})$ 的模形式复形构造为 $GL_m(\mathbb{Z})$-模的链复形。
• 应用 Borel–Brylinski–Borel-Serre 族谱序列，计算 $GL_m(\mathbb{Z})$ 在标准表示对称幂上的系数的上同调。
• 通过正则化映射，建立模形式复形的上同调与空间 $\overline{Z}_{w,m}(N)$ 之间的同构。
• 在迭代积分形式中，利用打乱关系与分布关系，证明正则化映射保持了多重 zeta 值的代数结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在单位根处取值的多 polylogarithm 的代数结构是什么？它与算术群有何关系？
• RQ2 在低深度关系下，多重 zeta 值的空间能否通过 $GL_m(\mathbb{Z})$ 的上同调实现几何化？
• RQ3 是否存在 cyclotomic 李代数对偶与多重 zeta 值代数之间的典范同构？
• RQ4 对于 $GL_2$ 和 $GL_3$，模形式复形与 Voronoi 复形之间有何关系？这对算术群的上同调有何启示？
• RQ5 正则化映射在将发散的迭代积分连接到 $\overline{Z}_{w,m}(N)$ 中的良定义元素方面起什么作用？

主要发现

• 在低深度关系下，多重 zeta 值的空间 $\overline{Z}_{w,m}(N)$ 同构于 $GL_m(\mathbb{Z})$ 的模形式复形的上同调。
• 当 $N=1$ 时，若 $w+m$ 为奇数，则 $\dim_{\mathbb{Q}} \overline{Z}_{w,m}(1) = 0$，这由 $\mathcal{D}_{w,m}(1)$ 在这些次数中的消失性所证明。
• 复形 $\mathcal{D}_{\bullet,2} \to \Lambda^2 \mathcal{D}_{\bullet,1}$ 的欧拉示性数的生成函数为 $\frac{1}{(1-t^4)(1-t^6)} - 1$，通过 $GL_2(\mathbb{Z})$ 的上同调计算得出。
• 对于 $GL_3(\mathbb{Z})$，当 $w > 3$ 时，上同调 $H^1(GL_3(\mathbb{Z}), S^{w-3}V_3)$ 消失，且 $H^3$ 同构于 $GL_2(\mathbb{Z})$ 的尖点上同调。
• 正则化映射 $\operatorname{Reg}Li_{n_1,\dots,n_m}(x_1,\dots,x_m)$ 是从 $\mathcal{D}_{w,m}(N)$ 到 $\overline{Z}_{w,m}(N)$ 的满射线性映射，其系数由多重 polylogarithm 的显式和给出。
• 模形式复形在对称空间 $SL_m(\mathbb{R})/SO_m$ 中实现了几何化，其边界对应于满足打乱关系的通用 3- 和 5-胞腔。