[论文解读] Multiple positive solutions for a class of p-Laplacian Neumann problems without growth conditions

Alberto Boscaggin, Francesca Colasuonno+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations被引用 5

一句话总结

本文证明了在球或环形区域上，p-Laplacian Neumann问题存在多个非平凡的径向正解，即使非线性项 $ f $ 的增长超过Sobolev嵌入的临界值。通过射击法，证明了若 $ f'(1) > \lambda_{k+1}^{\text{rad}} $，则至少存在 $ k $ 个径向解，其在 $ u \equiv 1 $ 附近恰好振荡 $ k $ 次，从而证实了 $ p=2 $ 情形下的长期猜想，并将其推广至一般 $ p \in (1,\infty) $。

ABSTRACT

For $10 ext{ in }Ω,\quad\partial_νu=0 ext{ on }\partialΩ, $$ where $Ω\subset\mathbb R^N$ is either a ball or an annulus. The nonlinearity $f$ is possibly supercritical in the sense of Sobolev embeddings; in particular our assumptions allow to include the prototype nonlinearity $f(s)=-s^{p-1}+s^{q-1}$ for every $q>p$. We use the shooting method to get existence and multiplicity of non-constant radial solutions. With the same technique, we also detect the oscillatory behavior of the solutions around the constant solution $u\equiv1$. In particular, we prove a conjecture proposed in [D. Bonheure, B. Noris, T. Weth, {\it Ann. Inst. H. Poincaré Anal. Non Lináire} vol. 29, pp. 573-588 (2012)], that is to say, if $p=2$ and $f'(1)>λ_{k+1}^{rad}$, there exists a radial solution of the problem having exactly $k$ intersections with $u\equiv1$ for a large class of nonlinearities.

研究动机与目标

• 研究p-Laplacian Neumann问题在非线性项可能超出Sobolev意义下临界增长时，多个非平凡径向解的存在性。
• 证明在常数解 $ u \equiv 1 $ 附近具有预定振荡行为的解的存在性，特别是那些与常数解恰好有 $ k $ 次交点的解。
• 将Bonheure等人（2012年）在 $ p=2 $ 情形下的一个猜想推广至一般 $ p \in (1,\infty) $，特别是当 $ f'(1) > \lambda_{k+1}^{\text{rad}} $ 时。
• 分析当 $ p \neq 2 $ 时的分岔结构与解的多重性，尤其关注 $ p < 2 $ 和 $ p > 2 $ 的情形，此时解分支表现出不同的行为。
• 为检测满足 $ u(0) < 1 $ 的解提供严格的框架，并指出关于 $ p < 2 $ 时 $ u(0) > 1 $ 的解仍存在的开放问题。

提出的方法

• 将p-Laplacian Neumann问题的径向常微分方程形式化，将初始值 $ u(0) $ 视为参数，应用射击法。
• 利用区域的径向对称性（球或环形区域），将PDE约化为关于径向变量 $ r $ 的二阶常微分方程，并施加Neumann边界条件。
• 通过跟踪 $ u(r) - 1 $ 在 $ (R_1, R_2) $ 内变号的次数来分析解的振荡行为，对应于与常数解的交点数。
• 在参数 $ p $ 上采用分岔技术，从已知的 $ p=2 $ 时的解出发，构造 $ p \neq 2 $ 时的解分支。
• 使用数值延续方法（如AUTO07p）追踪解分支并检测折叠结构，尤其在 $ p < 2 $ 时，此时分支会分裂为两支。
• 通过拓扑与变分论证建立存在性结果，依赖于具有Neumann条件的p-Laplacian的径向特征值 $ \lambda_k^{\text{rad}} $。

实验结果

研究问题

• RQ1 为确保p-Laplacian Neumann问题存在多个非平凡径向解，$ f $ 的最小增长条件是什么？
• RQ2 当 $ f'(1) > \lambda_{k+1}^{\text{rad}} $ 时，与常数解 $ u \equiv 1 $ 恰好有 $ k $ 次交点的径向解有多少个？该结论是否对一般 $ p \in (1,\infty) $ 成立？
• RQ3 当 $ p < 2 $ 时，解的结构如何变化？特别是解分支的分裂以及具有相同振荡模式的多个解的出现？
• RQ4 能否在 $ p < 2 $ 时找到满足 $ u(0) > 1 $ 的解？在何种条件下它们可能存在？
• RQ5 当参数 $ p $ 变化而非区域尺寸时，分岔结构是否依然存在？是否可能在 $ p \in (p_{\text{min}}, 2) $ 范围内产生 $ 2k $ 个解？

主要发现

• 若 $ f'(1) > \lambda_{k+1}^{\text{rad}} $，则p-Laplacian Neumann问题至少存在 $ k $ 个非平凡径向解，每个解在 $ (R_1, R_2) $ 内的 $ u(r) - 1 $ 中恰好有 $ k $ 个零点，从而证实了2012年的猜想。
• 当 $ C_1 = +\infty $ 时，问题存在无穷多个非平凡径向解，表明即使非线性项为超临界，仍可能产生无穷重解。
• 在 $ p < 2 $ 时，每个解分支分裂为两支，导致最多存在 $ 2k $ 个具有相同振荡行为的径向解，尽管目前仅能检测到 $ u(0) < 1 $ 的解。
• 在 $ p > 2 $ 时，数值证据表明可能存在从同一点 $ q = p $ 分支出的无穷多条解分支，暗示存在高度退化的分岔结构。
• 从 $ p=2 $ 出发，通过在 $ p $ 上进行数值延续，可构造出 $ p < 2 $ 时的解分支，从而检测到通过标准常数解分岔无法获得的解。
• 尽管进行了广泛的数值探索，$ p < 2 $ 时 $ u(0) > 1 $ 的解是否存在仍是开放问题，尽管在某些条件下它们被推测存在。