[论文解读] Multiple projection MCMC algorithms on submanifolds

Tony Lelièvre, Gabriel Stoltz+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 20, 2020

Markov Chains and Monte Carlo Methods参考文献 48被引用 7

一句话总结

本文提出了一种用于在子流形上抽样的新型多投影马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）算法，通过在投影步骤中允许多个解，推广了先前的方法。关键贡献是提出了一个严格的可逆性条件，即使存在多个投影时也能确保正确抽样，从而提高效率并实现非局部移动而不增加拒绝率。

ABSTRACT

We propose new Markov Chain Monte Carlo algorithms to sample probability distributions on submanifolds, which generalize previous methods by allowing the use of set-valued maps in the proposal step of the MCMC algorithms. The motivation for this generalization is that the numerical solvers used to project proposed moves to the submanifold of interest may find several solutions. We show that the new algorithms indeed sample the target probability measure correctly, thanks to some carefully enforced reversibility property. We demonstrate the interest of the new MCMC algorithms on illustrative numerical examples.

研究动机与目标

• 开发能够在约束定义的子流形上正确抽样概率分布的MCMC算法，特别是当投影步骤产生多个解时。
• 通过在提议步骤中引入多值映射，推广现有的子流形上MCMC方法，实现非局部移动。
• 通过强制执行考虑多重投影的广义可逆性条件，确保细致平衡和正确抽样。
• 通过结合RATTLE积分器与多解投影处理，统一约束MCMC中的几何与辛视角。
• 通过数值例子展示新算法的实际优势，表明拒绝率降低且混合效率提高。

提出的方法

• 该方法引入了一种广义的反向投影检查，验证提议的移动是否能通过任意一个多重投影被逆转，从而确保细致平衡。
• 使用类似RATTLE的积分器，以在相空间中模拟约束哈密顿动力学时保持辛结构。
• 提议步骤通过一个可能在约束流形上产生多个有效投影的映射生成候选点，该映射被建模为多值函数。
• 接受概率使用一种修改的Metropolis-Hastings规则计算，该规则考虑了可能投影的数量及其可逆性。
• 通过精心构造的权重函数，即使在存在多个解的情况下，也能通过确保转移核的对称性来维持细致平衡。
• 该方法在状态空间和相空间公式中均适用，后者引入动量变量和动量反转以实现细致平衡。

实验结果

研究问题

• RQ1 当投影步骤产生多个解时，能否推广子流形上的MCMC算法，而不损害其正确性？
• RQ2 当投影映射为多值时，如何保持细致平衡？何种条件可确保抽样到正确的目标测度？
• RQ3 允许多重投影对约束流形上MCMC抽样器的拒绝率和混合效率有何影响？
• RQ4 在考虑多重投影时，几何与辛公式化在约束MCMC中如何关联？
• RQ5 当所有可能的投影均可计算时，反向投影检查能否简化或消除？在何种条件下可行？

主要发现

• 通过强制执行广义可逆性条件，所提出的MCMC算法即使在投影步骤产生多个解时，也能在子流形上正确抽样目标概率测度。
• 当所有可能的投影均可计算时，反向投影检查变得不再必要，仅需统计投影数量，从而简化了算法。
• 该算法在状态空间和相空间公式中均实现了细致平衡，其中相空间版本在动量反转下保持可逆性。
• 数值实验表明，新算法相比单投影方法显著降低了拒绝率，并支持更大规模的非局部移动。
• 理论分析揭示了[46]的几何方法与[31]的辛方法之间存在深刻联系，该多投影框架统一了两者的视角。
• 只要通过接受规则强制执行可逆性条件，该方法对投影计算中的数值误差具有鲁棒性。