[论文解读] Multiple Schramm-Loewner evolutions for coset Wess-Zumino-Witten models

Yoshiki Fukusumi|arXiv (Cornell University)|Apr 20, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文通过将多个SLE轨迹与李群流形上的布朗运动耦合，推导出共形场论中coset Wess-Zumino-Witten (WZW) 模型的多重Schramm-Loewner演化（SLE），其中漂移项由边界条件改变算符相关函数的鞅条件导出。关键贡献在于对$Z(n)$ parafermion模型中三重SLE的显式漂移项推导，包括通过Knizhnik-Zamolodchikov方程计算的交叉概率。

ABSTRACT

We formulate multiple Schramm-Loewner evolutions (SLEs) for coset Wess-Zumino-Witten (WZW) models. The resultant SLEs may describe the critical behavior of multiple interfaces for the 2D statistical mechanics models whose critical properties are classified by coset WZW models. The SLEs are essentially characterized by multiple Brownian motions on a Lie group manifold as well as those on the real axis. The drift terms of the Brownian motions, which come from interactions of interfaces, are explicitly determined by imposing a martingale condition on correlation functions among boundary condition changing operators. As a concrete example, we formulate multiple SLE on the $Z(n)$ parafermion model and calculate the crossing probability which is closely related to 3-SLE drift terms.

研究动机与目标

• 将与共轭WZW模型相容的单重SLE扩展至具有内部自由度的多重SLE。
• 通过引入李群取值的布朗运动，为$G/A$共轭WZW模型建立一致的多重SLE框架。
• 通过边界条件改变算符相关函数上的鞅条件，显式推导多重SLE轨迹的漂移项。
• 将该形式化方法应用于$Z(n)$ parafermion模型，并通过Knizhnik-Zamolodchikov方程计算交叉概率。
• 阐明李群对称性在几何SLE之外如何塑造多重SLE的动力学。

提出的方法

• 该框架使用实轴和李群流形上的布朗运动驱动的多重SLE，其位置$x_{\beta t}$和群元$g_t(z)$满足随机微分方程。
• 通过在边界条件改变算符相关函数上施加鞅条件，推导出漂移项$dF_{\beta t}$和$dG_{\beta t}^a$。
• 配分函数$Z_t = \langle \psi_\Lambda(x_{1t}) \cdots \psi_\Lambda(x_{mt}) \psi_{\lambda_{m+1}}(\infty) \rangle$编码了由相互作用引起的漂移。
• 通过OPE假设和Ward恒等式计算初级场的随机导数，从而导出相关函数的KZ方程。
• 该形式化依赖于Wakimoto自由场表示和玻色化技术，以在$SU(2)_k$模型中进行显式计算。
• 对于$Z(n)$模型，使用FZ点定义临界点，交叉概率通过超几何函数计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为具有内部对称性自由度的共轭WZW模型一致地构建多重SLE？
• RQ2 在共轭CFT中，当相互作用通过边界条件改变算符中介时，多重SLE轨迹的显式漂移项是什么？
• RQ3 与标准SLE相比，李群取值的布朗运动如何改变多重SLE的动力学？
• RQ4 在$Z(n)$ parafermion模型中，三条界面的交叉概率是多少，它与KZ方程有何关联？
• RQ5 尽管局部动力学不同，$SU(2)_2$ WZW模型的SLE参数如何与伊辛模型的参数相关联？

主要发现

• 在共轭WZW模型上的多重SLE的漂移项显式推导为$dF_{\alpha t} = \kappa dq_\alpha \partial_{x_{\alpha t}} \log Z_t + 2\sum_{\beta \neq \alpha} \frac{dq_\beta}{x_{\alpha t} - x_{\beta t}}$ 和 $dG_{\alpha t}^a = \frac{\tau}{Z_t} \sum_{\beta \neq \alpha} \frac{t^{a}_{\lambda_\beta} Z_t}{x_{\beta t} - x_{\alpha t}} dq_\alpha$，其中$Z_t$为边界条件改变算符的配分函数。
• 对于$Z(n)$ parafermion模型，三重SLE的漂移项通过Knizhnik-Zamolodchikov方程计算，从而实现交叉概率的计算。
• 在$SU(2)_2$ WZW模型中，交叉概率为$Z_{C_2}(x) = x^{1/8}(1-x)^{1/8} F(5/4, 3/4; 3/2; x)$，尽管SLE参数不同，但与伊辛模型的交叉概率一致。
• 鞅条件确保了SLE过程与边界共形场论相关函数之间的一致性，验证了该构造的有效性。
• $SU(2)_2$ WZW模型展现出与伊辛模型相同的全局交叉行为，但其参数为$\kappa = 16/5$，$\tau = 2/5$，而伊辛模型的参数为$\kappa = 16/3$，$\tau = 0$，表明即使局部动力学不同，全局可观测量仍可相同。
• 该形式化表明，尽管单重SLE受此类对称性影响时动力学保持几何不变，但李群对称性显著改变了多重SLE的动力学。