[论文解读] Multiple solutions for a fractional $p$-Laplacian equation with sign-changing potential

Vincenzo Ambrosio|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 16被引用 26

一句话总结

本文通过一种变体的 fountain 定理，建立了带符号变化势的分数阶 $p$-拉普拉斯方程存在无穷多非平凡弱解。通过分析涉及分数阶 $p$-拉普拉斯算子、势 $V(x)$ 和 $p$-超线性非线性项 $f(x,u)$ 的一族泛函，作者在标准增长与对称性条件下证明了多重解结果，将先前关于局部 $p$-拉普拉斯算子与分数阶薛定谔方程的研究扩展至具有不定势的非局部、非线性算子情形。

ABSTRACT

We use a variant of the fountain Theorem to prove the existence of infinitely many weak solutions for the following fractional p-Laplace equation (-Δ)^{s}_{p}u+V(x)|u|^{p-2}u=f(x,u) in R^N, where $s \in (0,1)$,$ p \geq 2$,$ N \geq 2$, $(-Δ)^{s}_{p}$ is the fractional $p$-Laplace operator, the nonlinearity f is $p$-superlinear at infinity and the potential V(x) is allowed to be sign-changing.

研究动机与目标

• 建立带符号变化势 $V(x)$ 的分数阶 $p$-拉普拉斯方程存在无穷多非平凡弱解。
• 将局部 $p$-拉普拉斯算子与分数阶薛定谔方程的多重解结果推广至具有不定势的非局部、拟线性情形。
• 在非线性项 $f(x,u)$ 满足 $p$-超线性增长与对称性条件（包括奇性及 Ambrosetti-Rabinowitz 型条件）下分析该问题。
• 验证一种 fountain 定理变体在相关能量泛函临界点框架下的适用性。

提出的方法

• 将问题形式化为能量泛函 $\mathcal{J}_{\lambda}(u) = A(u) - \lambda B(u)$ 的临界点问题，其中 $A(u)$ 涉及 Gagliardo 半范数与势项，$B(u)$ 为非线性项原函数 $F(x,u)$ 的积分。
• 定义 Banach 空间 $E$ 为 $C_0^\infty(\mathbb{R}^N)$ 在范数 $||u||_E^p = \iint_{\mathbb{R}^{2N}} \frac{|u(x)-u(y)|^p}{|x-y|^{N+sp}} \,dx\,dy + \int_{\mathbb{R}^N} V(x)|u(x)|^p \,dx$ 下的完备化。
• 应用 Zou 提出的 fountain 定理变体，要求满足对称性、有界性，以及子空间 $Y_k$ 与 $Z_k$ 之间的特定链接几何结构。
• 验证泛函 $\mathcal{J}_{\lambda}$ 满足 fountain 定理的条件：对称性、在有界集上的一致有界性，以及存在半径 $r_k > \rho_k$，使得对所有 $\lambda \in [1,2]$ 有 $\beta_k(\lambda) < \alpha_k(\lambda)$。
• 利用紧性-集中论证与弱收敛性，证明 Cerami 序列有界，依赖于控制收敛定理与 Fatou 引理。
• 通过反证法证明子列的强收敛性，表明无界序列将导致能量值发散，与临界值的有界性矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将 fountain 定理适配用于证明带符号变化势的分数阶 $p$-拉普拉斯方程的解的多重性？
• RQ2 在何种 $f(x,u)$ 与 $V(x)$ 条件下，方程 $(-\Delta)_p^s u + V(x)|u|^{p-2}u = f(x,u)$ 允许存在无穷多非平凡弱解？
• RQ3 在非线性项 $f(x,u)$ 满足 $p$-超线性与奇性，且势 $V(x)$ 变号的条件下，该非局部设置下是否仍存在无穷多临界点？
• RQ4 当 $V(x)$ 非正定时，与该问题相关的能量泛函是否仍能满足 fountain 定理所需的几何与紧性条件？

主要发现

• 在势 $V(x)$ 满足假设 (V1)–(V2) 与非线性项 $f(x,u)$ 满足 (f1)–(f4) 的条件下，该问题存在无穷多非平凡弱解。
• 通过将 fountain 定理的一种变体应用于泛函 $\mathcal{J}_{\lambda}(u)$，其中 $\lambda \in [1,2]$，证明了无穷多解的存在性。
• 临界值 $\mathcal{J}(u^k)$ 满足 $c_k \leq \mathcal{J}(u^k) \leq d_k$，且当 $k \to \infty$ 时 $c_k \to \infty$，从而保证了无穷多个不同的解。
• 临界点序列 $\{u_n^k\}$ 在空间 $E$ 中有界，且存在一个强收敛子列，收敛于 $\mathcal{J}_1 = \mathcal{J}$ 的非平凡临界点。
• 证明依赖于弱收敛与几乎处处点态收敛的反证法，结合控制收敛定理与 Fatou 引理，以控制 $F(x,u)$ 的增长。
• 非线性项满足 $f(x,-t) = -f(x,t)$ 的对称性，以及 $F(x,t)$ 的非负性，是确保泛函为偶函数并维持链接几何结构的关键。