[论文解读] Multiple solutions to a Caffarelli-Kohn-Nirenberg type equation with asymptotically linear term

Benjin Xuan|ArXiv.org|Apr 2, 2004

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文建立了具有渐近线性非线性项（在无穷远处）的奇异 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 型 p-Laplacian 方程的多重解的存在性。通过采用 Cerami 条件的一种等价形式以绕过 Ambrosetti-Rabinowitz 条件的失效，作者在加权 Sobolev 空间框架下利用对称山路引理证明了无穷多组临界点的存在性。

ABSTRACT

In this paper, we study the existence of multiple solutions to a Caffarelli-Kohn-Nirenberg type equation with asymptotically linear term at infinity. In this case, the well-known Ambrosetti-Rabinowtz type condition doesn't hold, hence it is difficult to verify the classical (PS)$_c$ condition. To overcome this difficulty, we use an equivalent version of Cerami's condition, which allows the more general existence result.

研究动机与目标

• 建立具有渐近线性非线性项（在无穷远处）的 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 型方程的多重解存在性。
• 克服在渐近线性情形下经典 Ambrosetti-Rabinowitz 条件失效所导致的标准 Palais-Smale 序列有界性失效的问题。
• 将先前针对非奇异情形（a=0）的存在性结果推广至奇异情形（0≤a<(n−p)/p）且 c>0 的情况。
• 在加权 Sobolev 空间中验证与方程相关的能量泛函满足 Cerami 条件 (C)。
• 在对称性与增长假设下，应用对称山路引理以获得无穷多组几何上互异的解。

提出的方法

• 采用 Cerami 紧性条件 (C) 的等价形式以替代标准 Palais-Smale 条件，从而在 Ambrosetti-Rabinowitz 条件失效时仍可进行分析。
• 在加权 Sobolev 空间 X 中应用对称山路引理，其中范数涉及 |x|^{-ap} 与 |x|^{-(a+1)p+c} 的权函数。
• 通过反证法证明 Palais-Smale 序列的有界性：假设无界性将导致能量与范数估计中的矛盾。
• 利用 Krasnoselskii 亏格理论定义临界值并证明多重临界点的存在性。
• 使用加权 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式控制加权 Sobolev 空间到 Lebesgue 空间的嵌入。
• 应用山路几何结构：在零点附近能量为正，而在有限维子空间中的大球面上能量为负。

实验结果

研究问题

• RQ1 当非线性项在无穷远处为渐近线性时，能否为奇异 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 方程建立多重解？
• RQ2 在具有奇异权函数的 p-Laplacian 方程中，如何克服 Ambrosetti-Rabinowitz 条件失效的问题？
• RQ3 当标准 (PS) 条件失效时，何种紧性条件可确保 Palais-Smale 序列的收敛性？
• RQ4 在渐近线性增长条件下，能否应用对称山路引理获得无穷多组解？
• RQ5 加权 Sobolev 嵌入与 Krasnoselskii 亏格在证明解的多重性中起何种作用？

主要发现

• 与方程相关的能量泛函在所有 d≥0 的水平上满足 Cerami 条件 (C)，确保有界序列的紧性。
• 在给定的对称性与增长假设下，建立了无穷多组几何上互异的临界点。
• 对任意 k≥1，存在一个 k 维子空间，使得能量泛函在大球外部变为非正，满足山路几何结构。
• 该证明适用于奇异情形 0≤a<(n−p)/p 且 c>0，扩展了以往仅限于非奇异情形（a=0）的结果。
• f(u) 在无穷远处的渐近线性性质使得无法使用 Ambrosetti-Rabinowitz 条件，但该问题通过 Cerami 条件得以克服。
• 有界性证明中的反证法依赖于 f(t) 的增长性以及弱极限在非零部分支撑集上加权 L^p 范数的发散性。