[论文解读] Multiple Source Dual Fault Tolerant BFS Trees

Manoj Gupta, Shahbaz Khan|arXiv (Cornell University)|Apr 23, 2017

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 14被引用 5

一句话总结

本文提出了一种新颖的算法，用于在有向图中构建多源双故障容错BFS树，支持在最多两个边同时失效时实现高效恢复。通过动态选择避开每个失效集合的首选路径，并逐步构建备份结构，该方法在边添加开销最优的前提下，确保了最短路径的容错性，实现了对所有2条边失效组合的完全容错。

ABSTRACT

Let $G=(V,E)$ be a graph with $n$ vertices and $m$ edges, with a designated set of $σ$ sources $S\subseteq V$. The fault tolerant subgraph for any graph problem maintains a sparse subgraph $H$ of $G$, such that for any set $F$ of $k$ failures, the solution for the graph problem on $G\setminus F$ is maintained in $H\setminus F$. We address the problem of maintaining a fault tolerant subgraph for Breath First Search tree (BFS) of the graph from a single source $s\in V$ (referred as $k$ FT-BFS) or multiple sources $S\subseteq V$ (referred as $k$ FT-MBFS). The problem of $k$ FT-BFS was first studied by Parter and Peleg [ESA13]. They designed an algorithm to compute FT-BFS subgraph of size $O(n^{3/2})$. Further, they showed how their algorithm can be easily extended to FT-MBFS requiring $O(σ^{1/2}n^{3/2})$ space. They also presented matching lower bounds for these results. The result was later extended to solve dual FT-BFS by Parter [PODC15] requiring $O(n^{5/3})$ space, again with matching lower bounds. However, their result was limited to only edge failures in undirected graphs and involved very complex analysis. Moreover, their solution doesn't seems to be directly extendible for dual FT-MBFS problem. We present a similar algorithm to solve dual FT-BFS problem with a much simpler analysis. Moreover, our algorithm also works for vertex failures and directed graphs, and can be easily extended to handle dual FT-MBFS problem, matching the lower bound of $O(σ^{1/3}n^{5/3})$ space described by Parter [PODC15].The key difference in our approach is a much simpler classification of path interactions which formed the basis of the analysis by Parter [PODC15]. Our dual FT-MBFS structure also seamlessly gives a dual fault tolerant spanner with additive stretch of +2 having size $O(n^{7/8})$.

研究动机与目标

• 解决在有向图中最多两个边同时失效时，维持最短路径连通性的挑战。
• 设计一种高效的算法，预先计算所有可能的2条边失效组合的备份路径，而不会造成过度的存储或预处理开销。
• 最小化为实现对所有大小不超过2的失效集合的完全容错所需的附加边数。
• 确保对于每个大小为0、1或2的失效集合F，从源点s到每个顶点v的最短路径均能通过一条避开F的首选路径保持可用。

提出的方法

• 对于每个失效集合F（满足|F| ≤ 2），按照预定义的序列π的顺序，算法计算一条从s到v的首选路径P，该路径避开F中的所有边。
• 算法检查路径P的最后一条边LastE(P)是否已存在于备份边集合H中；若否，则将P指定为F的备用路径，并将LastE(P)加入H。
• 路径选择优先考虑在避开F的约束下保持最短路径，从而在故障条件下确保路径的最优性。
• 该过程按失效集合大小递增及字典序顺序重复执行，确保路径分配的一致性与确定性。
• 该方法逐步构建一个最小边集合H，以支持所有2条边失效场景下的容错性。
• 该算法保证：在图中添加H中的边后，每个失效集合F均存在一条对应于原图边与集合H中边的最短路径。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种高效算法，在有向图中以最小开销维持所有可能的双边失效情况下的最短路径？
• RQ2 在有向图中，为实现BFS树的双故障容错，最少需要添加多少条边？
• RQ3 如何系统性地对路径选择进行排序，以确保在所有大小≤2的失效集合中实现一致性和最优性？
• RQ4 是否可能在不为每个失效集合重新计算路径的前提下，逐步构建容错结构？
• RQ5 图的何种结构性质能够支持在多重失效下实现确定性且最优的路径分配？

主要发现

• 该算法成功构建了容错BFS结构，可支持所有满足|F| ≤ 2的失效集合F。
• 添加的附加边数被最小化，因为仅将每条新首选路径的LastE(P)加入H。
• 该方法确保：对于每个失效集合F，均可通过指定的首选路径P获得从s到v的有效最短路径。
• 该算法以确定性、有序的方式处理失效集合，确保路径选择的一致性并避免冗余。
• 该方法通过最优的边增强，保证了完全容错，同时在所有2条边失效场景下维持了路径最优性。
• 构建过程高效且可扩展，因其按顺序处理失效集合，并仅在必要时添加边。