[论文解读] Multiple timescales and the parametrisation method in geometric singular perturbation theory

Ian Lizarraga, Bob Rink+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2020

Combustion and flame dynamics参考文献 39被引用 7

一句话总结

本文提出了一种几何奇异摄动理论中的坐标无关参数化方法，通过迭代求解共轭方程，以任意精度计算慢流形及其快速纤维丛。该方法揭示了具有三个或更多时间尺度的系统中隐藏的时间尺度，并成功应用于反应网络模型，提供了一种无需事先了解时间尺度数量或吸引子结构的自上而下的方法。

ABSTRACT

We present a novel method for computing slow manifolds and their fast fibre bundles in geometric singular perturbation problems. This coordinate-independent method is inspired by the parametrisation method introduced by Cabr\'e, Fontich and de la Llave. By iteratively solving a so-called conjugacy equation, our method simultaneously computes parametrisations of slow manifolds and fast fibre bundles, as well as the dynamics on these objects, to arbitrarily high degrees of accuracy. We show the power of this top-down method for the study of systems with multiple (i.e., three or more) timescales. In particular, we highlight the emergence of hidden timescales and show how our method can uncover these surprising multiple timescale structures. We also apply our parametrisation method to several reaction network problems.

研究动机与目标

• 开发一种用于在具有多个时间尺度的几何奇异摄动问题中计算慢流形及其快速纤维丛的坐标无关方法。
• 将Cabré、Fontich与de la Llave的参数化方法扩展至具有三个或更多时间尺度的奇异摄动问题。
• 揭示标准系统形式(1.1)中不明显的隐藏时间尺度，特别是在小参数相互依赖的系统中。
• 提供一种系统化、算法化的近似嵌套不变流形及其动力学的方法，无需事先知晓时间尺度的数量或吸引子状态。
• 将该方法应用于反应网络问题，并展示其在识别慢流形和亚慢流形方面的有效性，特别是在出现法向双曲性丧失的系统中。

提出的方法

• 该方法将慢流形和快速纤维丛的识别重新表述为求解共轭方程，该方程将流形上的动力学与坐标图中的模型系统关联起来。
• 采用迭代方案求解共轭方程，以小参数ε的任意阶次计算慢流形和快速纤维丛的参数化表示。
• 该方法基于在每一步迭代中解析求解同调方程，其可行性源于慢流的近似静止特性，从而可显式写出解的公式。
• 该方法采用自上而下的方式：在计算主慢流形Sε₀后，系统性地揭示嵌套的亚慢流形Sε₁、Sε₂等及其关联的快速纤维。
• 采用符号计算（如Mathematica）计算慢流形的二阶校正和快速纤维的一阶校正，并建议使用自动微分以提高高阶计算的效率。
• 该方法适用于临界流形法向双曲且可通过光滑映射φ₀嵌入的系统，从而实现约化动力学的局部坐标表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在具有三个或更多时间尺度的多时间尺度系统中，以任意精度计算慢流形及其快速纤维丛？
• RQ2 在奇异摄动系统中，隐藏时间尺度出现的机制是什么？如何系统性地揭示这些时间尺度？
• RQ3 该参数化方法能否扩展至小参数存在依赖关系的系统，其中标准多时间尺度框架失效？
• RQ4 该方法在反应网络模型中的表现如何，特别是在识别慢流形和亚慢流形方面？
• RQ5 共轭方程在实现几何奇异摄动理论中不变流形的坐标无关计算中起到何种作用？

主要发现

• 该参数化方法成功地以ε的任意阶次计算了慢流形和快速纤维丛，其中流形的二阶校正和纤维的一阶校正确为符号计算。
• 该方法在嵌入的范德波尔系统（5.1）中揭示了隐藏时间尺度，其中在慢流形Sε₀上出现弛豫振荡，连接了慢动力学与亚慢动力学。
• 在反应网络实例（4.10）中，该方法识别出一个无第三时间尺度的稳定节点，表明约化问题中无平衡点曲线的存在可排除隐藏时间尺度。
• 该方法揭示，具有小参数依赖关系的系统可能表现出超出Cardin & Teixeira（2019）框架范围的复杂多时间尺度结构，因而需要更一般的几何定义。
• 在法向双曲性丧失的情况下，该方法依然稳健，例如在弛豫振荡中，仍能近似慢流形和亚慢流形及其远离折叠点的动力学。
• 作者建议使用自动微分处理高阶计算，以克服Gi和Hi中符号导数带来的计算负担。