[论文解读] Multiplication operators on the Bergman space of bounded domains in C^d

Hansong Huang, Dechao Zheng|arXiv (Cornell University)|Nov 5, 2015

Holomorphic and Operator Theory参考文献 14被引用 6

一句话总结

本文研究了在 ℂ^d 中有界区域上的 Bergman 空间上的乘法算子，证明当符号为具有内点像的全纯正规映射时，此类算子生成的 von Neumann 代数是有限维的。通过采用允许的局部逆、解析开拓和 L^2_a-可移除集，该文推广了单变量情形下关于交换子和约化子空间的结果，表明代数的结构取决于符号映射在高维中的几何与函数论性质。

ABSTRACT

In this paper we study multiplication operators on Bergman spaces of high dimensional bounded domains and those von Neumann algebras induced by them via the geometry of domains and function theory of their symbols. In particular, using local inverses and $L^2_a$-removability, we show that for a holomorphic proper map $Φ=(ϕ_1, ϕ_2, \cdots , ϕ_d)$ on a bounded domain $Ω$ in $\mathbb{C}^{d}$, the dimension of the von Neumann algebra $\mathcal{V}^*(Φ,Ω) $ consisting of bounded operators on the Bergman space $L_a^2(Ω)$, which commute with both $ M_{ϕ_j}$ and its adjoint $M_{ϕ_j}^*$ for each $j$, equals the number of components of the complex manifold $\mathcal{S}_{Φ}= \{(z,w)\in Ω^2: Φ(z)=Φ(w),\, z ot\in Φ^{-1}(Φ(Z))\},$ where $Z$ is the zero variety of the Jacobian $JΦ$ of $ Φ.$ This extends the main result in \cite{DSZ} in high dimensional complex domains. Moreover we show that the von Neumann algebra $\mathcal{V}^*(Φ,Ω) $ may not be abelian in general although Douglas, Putinar and Wang \cite{DPW} showed that $\mathcal{V}^*(Φ,\mathbb{D})$ for the unit disk $\mathbb{D}$ is abelian.

研究动机与目标

• 将单变量情形下关于交换子和乘法算子 von Neumann 代数的结果推广到 ℂ^d 中的高维有界区域。
• 研究 Bergman 空间上乘法算子及其伴随算子生成的 von Neumann 代数 𝒱*(Φ,Ω) 的结构。
• 确定 𝒱*(Φ,Ω) 为有限维或平凡的条件，特别是与区域的几何性质及符号映射 Φ 的解析性质的关系。
• 探讨允许的局部逆、解析开拓和 L^2_a-可移除集在刻画交换子和 von Neumann 代数中的作用。
• 证明经典单变量结果（ϕ = ψ∘B 蕴含 {M_ϕ}′ = {M_B}′）在高维中不成立，给出 ℂ^2 中的反例。

提出的方法

• 将 von Neumann 代数 𝒱*(Φ,Ω) 定义为有界区域 Ω ⊂ ℂ^d 上全纯函数族 Φ 的 {M_ϕ_j,Ω, M_ϕ_j,Ω*} 的交换子。
• 引入 Φ 的允许局部逆的概念，即其解析开拓能导出 L_a^2(Ω) 上有界算子的局部全纯逆。
• 通过在允许局部逆的等价类 [ρ] 上对 h∘σ·Jσ 求和，在 L_a^2(Ω) 上构造算子 𝒪_{[ρ]}，其中 h ∈ L_a^2(Ω)。
• 利用 Hartogs 现象和 L^2_a-可移除集分析局部逆的解析开拓域及其有界性。
• 应用全纯正规映射及其雅可比行列式理论，将 Φ 的黎曼曲面的分支数与 𝒱*(Φ,Ω) 的维数联系起来。
• 构造显式反例（例如，在 ℂ^2 中去掉一个小闭球后，Φ(z₁,z₂) = (z₁²+z₂², z₁²z₂²)），表明即使 Φ 是 Ψ 的函数，也可能有 {M_Φ}′ ≠ {M_Ψ}′，从而违反单变量情形的推广。

实验结果

研究问题

• RQ1 在有界区域 Ω ⊂ ℂ^d 上，满足何种几何与解析条件时，von Neumann 代数 𝒱*(Φ,Ω) 是有限维的？
• RQ2 允许局部逆及其解析开拓如何与交换子 {M_Φ,Ω}′ 和 von Neumann 代数 𝒱*(Φ,Ω) 的结构相关联？
• RQ3 单变量结果 {M_ϕ}′ = {M_B}′（当 ϕ = ψ∘B 时）在多变量情形下在多大程度上可以推广？
• RQ4 在高维中，能否将一个全纯正规映射 Φ 表示为另一个全纯正规映射 Ψ 的函数，使得 {M_Φ}′ = {M_Ψ}′？
• RQ5 L^2_a-可移除集和 Hartogs 现象在确定与局部逆相关算子的有界性与交换性方面起什么作用？

主要发现

• 若区域 Ω 满足性质 (1) 和 (2)，且 Φ: Ω → ℂ^d 是 𝒪(Ω) 上的全纯函数，且其像包含内点，则 von Neumann 代数 𝒱*(Φ,Ω) 是有限维的。
• 代数 𝒱*(Φ,Ω) 由与 Φ 的允许局部逆 ρ 相关的算子 𝒪_{[ρ]} 生成。
• 若 Φ 的像无内点，则 𝒱*(Φ,Ω) 可能为无限维，如例 4.5 所示。
• 在例 7.4 中，从单位球或双圆盘中去掉一个小闭球后得到的区域 Ω 满足 𝒱*(Φ,Ω) = ℂI，尽管交换子 {M_Φ,Ω}′ 包含 8 个非平凡算子。
• 经典单变量结果 {M_ϕ}′ = {M_B}′（当 ϕ = ψ∘B 时）在高维中不成立：例 7.5 表明，即使 Φ = h∘Ψ，也可能不成立 {M_Φ}′ = {M_Ψ}′。
• 在例 7.5 中，若存在全纯正规映射 Ψ 使得 {M_Φ}′ = {M_Ψ}′ 且 Φ = h∘Ψ，则会导致矛盾，原因在于 Φ−Φ(λ) 的根的重数不匹配。