[论文解读] Multiplicative Approximations for Polynomial Optimization Over the Unit Sphere

Vijay Bhattiprolu, Mrinal K. Ghosh+3 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2016

Tensor decomposition and applications被引用 7

一句话总结

本论文提出了针对在单位球面上最大化一个$d$次齐次多项式绝对值的近似算法，通过更高阶的平方和（SoS）松弛方法，在运行时间和近似比之间实现了权衡。论文引入了新颖的解耦技术，相比以往方法更好地保持了变量数量，从而为一般多项式、非负多项式及稀疏多项式提供了更优的近似保证。

ABSTRACT

We consider the following basic problem: given an $n$-variate degree-$d$ homogeneous polynomial $f$ with real coefficients, compute a unit vector $x \in \mathbb{R}^n$ that maximizes $|f(x)|$. Besides its fundamental nature, this problem arises in diverse contexts ranging from tensor and operator norms to graph expansion to quantum information theory. The homogeneous degree $2$ case is efficiently solvable as it corresponds to computing the spectral norm of an associated matrix, but the higher degree case is NP-hard. We give approximation algorithms for this problem that offer a trade-off between the approximation ratio and running time: in $n^{O(q)}$ time, we get an approximation within factor $O_d((n/q)^{d/2-1})$ for arbitrary polynomials, $O_d((n/q)^{d/4-1/2})$ for polynomials with non-negative coefficients, and $O_d(\sqrt{m/q})$ for sparse polynomials with $m$ monomials. The approximation guarantees are with respect to the optimum of the level-$q$ sum-of-squares (SoS) SDP relaxation of the problem. Known polynomial time algorithms for this problem rely on lemmas. Such tools are not capable of offering a trade-off like our results as they blow up the number of variables by a factor equal to the degree. We develop new decoupling tools that are more efficient in the number of variables at the expense of less structure in the output polynomials. This enables us to harness the benefits of higher level SoS relaxations. We complement our algorithmic results with some polynomially large integrality gaps, albeit for a slightly weaker (but still very natural) relaxation. Toward this, we give a method to lift a level-$4$ solution matrix $M$ to a higher level solution, under a mild technical condition on $M$.

研究动机与目标

• 解决在$\mathbb{R}^n$中单位球面上最大化$|f(x)|$的NP难问题，其中$f$为$d$次齐次多项式。
• 设计高效近似算法，在运行时间与近似比之间取得平衡，尤其针对精确计算不可行的高次多项式。
• 通过引入更高效的解耦工具，克服现有引理在次数增加时导致变量数量激增的局限性。
• 通过更高阶SoS松弛，为结构化多项式类（包括非负和稀疏多项式）实现更优的近似比。
• 为一种松弛的SoS公式建立整数性间隙，揭示某些松弛层级的固有局限性。

提出的方法

• 设计新型解耦工具，相比经典引理显著减少变量膨胀，从而支持高效使用更高阶SoS松弛。
• 应用$q$阶平方和（SoS）SDP松弛，以近似单位球面上$|f(x)|$的最优值。
• 推导相对于$q$阶SoS松弛最优值的近似保证，其界依赖于$n$、$q$、$d$以及稀疏性。
• 引入一种提升过程，可在对矩阵施加一个温和的技术条件下，将四阶SoS解矩阵扩展至更高阶。
• 利用多项式的结构性质（如非负系数或稀疏性）以优化近似比。
• 分析运行时间$n^{O(q)}$与近似因子之间的权衡：分别为一般多项式、非负多项式和稀疏多项式的$O_d((n/q)^{d/2-1})$、$O_d((n/q)^{d/4-1/2})$和$O_d(\sqrt{m/q})$。

实验结果

研究问题

• RQ1 通过利用更高阶平方和松弛，能否在单位球面上多项式优化中实现更优的近似比？
• RQ2 如何设计解耦技术，在保持变量数量的同时支持高效的SoS近似？
• RQ3 在SoS松弛下，对结构化多项式类（非负、稀疏）可实现何种近似保证？
• RQ4 整数性间隙如何揭示SoS松弛在此问题上的固有局限性？
• RQ5 能否在保持可行性和近似质量的前提下，将低阶SoS解提升至更高阶？

主要发现

• 对于一般$d$次多项式，算法在$n^{O(q)}$时间内相对于$q$阶SoS松弛实现了$O_d((n/q)^{d/2-1})$的近似比。
• 对于具有非负系数的多项式，相同运行时间下近似比提升至$O_d((n/q)^{d/4-1/2})$。
• 对于含$m$个单项式的稀疏多项式，近似比为$O_d(\sqrt{m/q})$，反映出在低复杂度实例上的性能提升。
• 所提出的解耦工具相比先前引理显著减少了变量膨胀，从而支持更高阶SoS松弛的高效使用。
• 提出一种提升方法，可在温和技术条件下将四阶SoS解矩阵扩展至更高阶，支持更强的松弛。
• 论文为一种稍弱的松弛形式建立了多项式整数性间隙，表明了某些松弛层级的根本限制。