[论文解读] Multiplicative formulas in Cohomology of $G/P$ and in quiver representations

Nicolas Ressayre|ArXiv.org|Dec 11, 2008

Advanced Combinatorial Mathematics参考文献 6被引用 10

一句话总结

本论文利用几何不变理论与退化技术，建立了广义旗流形 G/Q 上上同调乘积的乘法公式，以及奎瓦表示数的乘法公式。关键结果将 H*(G/Q, Z) 中结构常数在新乘积 ⊙0 下的分解，推广为更小旗流形与 Levi 子群中常数的乘积，并通过新的几何解释，将 Derksen-Weyman 关于奎瓦表示数的结果扩展至更广的维数向量类。

ABSTRACT

Consider a partial flag variety $X$ which is not a grassmaninan. Consider also its cohomology ring ${ m H}^*(X,\ZZ)$ endowed with the base formed by the Poincaré dual classes of the Schubert varieties. In \cite{Richmond:recursion}, E. Richmond showed that some coefficient structure of the product in ${ m H}^*(X,\ZZ)$ are products of two such coefficients for smaller flag varieties. Consider now a quiver without oriented cycle. If $α$ and $β$ denote two dimension-vectors, $α\circβ$ denotes the number of $α$-dimensional subrepresentations of a general $α+β$-dimensional representation. In \cite{DW:comb}, H. Derksen and J. Weyman expressed some numbers $α\circβ$ as products of two smaller such numbers. The aim of this work is to prove two generalisations of the two above results by the same way.

研究动机与目标

• 将 Richmond 关于旗流形 G/Q 上同调的乘法公式推广至任意抛物子群。
• 将 Derksen-Weyman 关于奎瓦表示数的乘积公式推广至更广维数向量类。
• 通过基于退化与群作用的统一几何框架，统一两种设定。
• 通过纤维维数与态射次数，为奎瓦表示乘积提供新的几何解释。

提出的方法

• 通过 G 在光滑代数簇 X 上的作用及一参数子群 λ，定义态射 η: G ×P(λ) C+ → X 的次数 d(G, X, C, λ)。
• 应用 Bialynicki-Briot-Bahlfass 分解，将次数 δ(G, X, C, λ) 与 δ(L, C, Cε, λε) 及 δ(G, X, C, λ) 关联，其中 L 为 Levi 子群。
• 证明乘积公式：若 δ(G, X, C, λ) = δ(L, C, Cε, λε) = 0，则 d(G, X, Cε, λε) = d(L, C, Cε, λε) · d(G, X, C, λ)。
• 将该次数公式应用于 G/Q 的上同调，通过态射 η: G ×P C+ → G/Q，将结构常数与表示数关联。
• 利用奎瓦维数向量上的 Ringle 形式 ⟨·, ·⟩，定义乘积恒等式的正交性条件。
• 通过表示空间之间态射的行列式，为乘积 α ◦β + γ = (α ◦β)(α ◦γ) 提供几何解释，当 ⟨α, β⟩ = ⟨α, γ⟩ = 0 且 β ◦γ = 1 时成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在新乘积 ⊙0 下，H*(G/Q, Z) 的上同调环结构常数如何分解为 G/P 与 L/(L ∩ Q) 中更小不变量的乘积？
• RQ2 在奎瓦表示中，一般表示的子表示数在何种条件下可分解为更小此类数的乘积？
• RQ3 奎瓦表示数的乘积公式能否通过态射次数与纤维维数获得几何解释？
• RQ4 在退化背景下，态射 η 的次数与它在 Levi 子群上限制的次数之间有何关系？

主要发现

• 在 Schubert 基下，(H*(G/Q, Z), ⊙0) 的结构常数是 (H*(G/P, Z), ⊙0) 与 (H*(L/(L ∩ Q), Z), ⊙0) 中对应常数的乘积。
• 对于满足 ⟨α, β⟩ = ⟨α, γ⟩ = ⟨β, γ⟩ = 0 的奎瓦维数向量 α, β, γ，恒等式 (α + β ◦γ)(α ◦β) = (α ◦β + γ)(β ◦γ) 成立。
• 当 ⟨α, β⟩ = ⟨α, γ⟩ = 0 且 β ◦γ = 1 时，恒等式简化为 α ◦β + γ = (α ◦β)(α ◦γ)，从而给出新的乘法公式。
• 当且仅当 ext(α, β) = 0 且对所有 i < j 有 ⟨βi, βj⟩ = 0 时，态射 ηα˜+β 在 C 上的行列式非零。
• 当 ext(α, β) = 0 且 β ◦γ = 1 时，态射 m: K[Rep(Q, γ)]⟨α,·⟩ ⊗ K[Rep(Q, γ)]⟨β,·⟩ → K[Rep(Q, γ)]⟨α+β,·⟩ 是同构。
• 该结果提供了奎瓦表示数乘积公式的几何证明，其方法与 Derksen-Weyman 的不变理论方法截然不同。