[论文解读] Multiplicative structure on the Hochschild cohomology of crossed product algebras

Rina Anno|ArXiv.org|Nov 15, 2005

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 8被引用 8

一句话总结

本文在特征大于 $\dim X$ 且大于 $|G|$ 的域 $\mathbf{k}$ 上，对有限群 $G$ 作用于光滑仿射概形 $X$ 的交叉积代数 $\mathbb{k}[G] \ltimes \mathbb{k}[X]$ 的 Hochschild 上同调建立了显式的乘法结构。关键结果是将上同调的杯积公式化为 $G$-不变子概形上的多向量场与法丛的表达，将 Hochschild-Kostant-Rosenberg 同构推广至等变情形。

ABSTRACT

Consider a smooth affine algebraic variety $X$ over an algebraically closed field, and let a finite group $G$ act on it. We assume that the characteristic of the field is greater than the dimension of $X$ and the order of $G$. An explicit formula for multiplication on the Hochschild cohomology of a crossed product of $k[G]$ and $k[X]$ is given in terms of multivector fields on $X$ and $g$-invariant subvarieties of $X$ for $g\in G$.

研究动机与目标

• 将 Hochschild-Kostant-Rosenberg 同构推广至交叉积代数 $\mathbb{k}[G] \ltimes \mathbb{k}[X]$ 的情形，其中 $G$ 为有限群作用。
• 以 $X$ 上的几何数据显式描述 $HH^*(\mathbb{k}[G] \ltimes \mathbb{k}[X])$ 的杯积结构。
• 将先前关于辛作用的结果推广至更一般的光滑仿射概形与有限群作用的设定。
• 提供一个包含群作用对称性与固定点子概形的 Hochschild 上同调乘法公式的显式表达。

提出的方法

• 利用同构 $HH^i(B) \cong \left(\bigoplus_{g \in G, m} H^i(A, A_g)\right)^G$ 将上同调与双模的 $G$-不变上同调联系起来。
• 通过映射 $\mu: C^i(A,B) \otimes C^j(A,B) \to C^{i+j}(A,B)$ 定义 Hochschild 上链上的乘法，其定义为 $\mu(\phi g \otimes \psi h) = \phi(a_1,\dots,a_i) \cdot \psi^g(a_{i+1},\dots,a_{i+j})gh$，该乘法在上同调层面下降。
• 利用 $G$-固定点的形式邻域构造局部模型，根据引理 5，群作用在此处线性化，从而将问题约化为线性情形。
• 在形式邻域中应用 Hochschild-Kostant-Rosenberg 同构，并利用引理 4 将形式邻域上的同构提升为整体层同构。
• 通过限制与对称化定义 $HH^*(B)$ 上的乘法：$\pi^u$ 作用于多向量场，乘积在交集 $X^g_m \cap X^h_n \supset X^u_k$ 上由楔积给出，带符号因子 $(-1)^{d_{g,m}(j - d_{h,n})}$。
• 利用分解 $TX|_{X^g_m} \cong T X^g_m \oplus N_X X^g_m$ 分离切丛与法丛分量，并将上同调群定义为 $\Gamma(X^g_m, \Lambda^{i-d_{g,m}} T X^g_m \otimes \Lambda^{d_{g,m}} N_X X^g_m)^G$。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何用 $X$ 在 $G$-作用下的几何不变量来描述交叉积代数 $\mathbb{k}[G] \ltimes \mathbb{k}[X]$ 的 Hochschild 上同调？
• RQ2 当 $X$ 光滑且 $\mathrm{char}(\mathbf{k}) > \dim X, |G|$ 时，$HH^*(\mathbb{k}[G] \ltimes \mathbb{k}[X])$ 中杯积的显式公式是什么？
• RQ3 当限制到固定点子概形 $X^g_m$ 时，Hochschild 上同调上的乘法结构如何表现？
• RQ4 在辛情形下，乘法结构如何简化？辛形式在约化法丛项中起什么作用？
• RQ5 能否从 $G$-固定点的形式邻域中的局部数据重构全局乘法结构？

主要发现

• 交叉积代数 $B = \mathbb{k}[G] \ltimes \mathbb{k}[X]$ 的 Hochschild 上同调 $HH^i(B)$ 作为分次向量空间，同构于 $\bigoplus_{g \in G, m} \Gamma(X^g_m, \Lambda^{i - d_{g,m}} T X^g_m \otimes \Lambda^{d_{g,m}} N_X X^g_m)^G$，其中 $d_{g,m} = \mathrm{codim}\, X^g_m$。
• 在 $HH^*(B)$ 上的杯积由对 $u \in G$ 和子概形 $X^u_k \subset X^g_m \cap X^h_n$ 的求和给出，其项涉及对 $\pi^u$-对称化的切丛与法丛分量的楔积。
• 该公式包含符号因子 $(-1)^{d_{g,m}(j - d_{h,n})}$，用于校正杯积中的分次与定向。
• 在辛情形下，法丛项 $\Lambda^{d_{g,m}} N_X X^g_m$ 通过辛形式被平凡化，上同调简化为 $\bigoplus_{g \in G, m} \Gamma(X^g_m, \Lambda^{i - d_{g,m}} T X^g_m)^G$，乘积形式为 $\pi^u(\alpha_{g,m}|_{X^u_k} \wedge \gamma_{h,n}|_{X^u_k})$。
• 该构造在 $g = 1$ 时与 Hochschild-Kostant-Rosenberg 同构相容，恢复标准的多向量场楔积。
• 全局乘法结构由 $G$-固定点形式邻域中的局部结构决定，同构通过形式邻域上的引理 4 与群作用线性化上的引理 5 建立。