[论文解读] Multiplicity and stability of the Pohozaev obstruction for Hardy-Schr\\"odinger equations with boundary singularity

Nassif Ghoussoub, Saikat Mazumdar+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2019

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 30被引用 4

一句话总结

本文建立了在 0 处具有边界奇点的 Hardy-Schrödinger 方程中 Pohozaev 障碍的多重性和稳定性。通过在次临界问题的高能量解上使用精确的爆破分析，证明了当 $\gamma < \frac{n^2}{4} - 1$ 且 0 处的主曲率非正但不全为零时，存在无穷多组变号解。此外，还表明当 $\Omega$ 为星形且 $h$ 较小时，即使超出经典 Pohozaev 条件，$C^1$-扰动 $h$ 下也不存在正解。

ABSTRACT

Let $\\Omega$ be a smooth bounded domain in $\\mathbb{R}^n$ ($n\\geq 3$) such that $0\\in\\partial \\Omega$. In this memoir, we consider issues of non-existence, existence, and multiplicity of variational solutions in $H_{1,0}^2(\\Omega)$ for the borderline Dirichlet problem, $-\\Delta u-\\gamma \\frac{u}{|x|^2}- h(x) u = \\frac{|u|^{{2^\\star(s)}-2}u}{|x|^s}$ in $\\Omega$, where $0&lt;s&lt;2$, ${{2^\\star(s)}}:=\\frac{2(n-s)}{n-2}$, $\\gamma\\in\\mathbb{R}$ and $h\\in C^0(\\overline{\\Omega})$. We use sharp blow-up analysis on --possibly high energy-- solutions of corresponding subcritical problems to establish, for example, that if $\\gamma&lt;\\frac{n^2}{4}-1$ and the principal curvatures of $\\partial\\Omega$ at $0$ are non-positive but not all of them vanishing, then the above equation has an infinite number of (possibly sign-changing) solutions in ${H_{1,0}^2(\\Omega)}$. This complements results of the first and third authors, who had previously shown that if $\\gamma\\leq \\frac{n^2}{4}-\\frac{1}{4}$ and the mean curvature of $\\partial\\Omega$ at $0$ is negative, then the equation has a positive solution. On the other hand, the sharp blow-up analysis also allows us to prove that if the mean curvature at $0$ is non-zero and if the mass (when defined) does not vanish, then there is a surprising stability under $C^1$-perturbations of the potential $h$ of those regimes where no variational positive solutions exist. In particular, and in sharp contrast with the non-singular case (i.e., when $\\gamma=s=0$), we show non-existence of such solutions for (E) in any dimension, whenever $\\Omega$ is star-shaped and $h$ is close to $0$, which include situations not covered by the classical Pohozaev obstruction.

研究动机与目标

• 研究临界 Hardy-Schrödinger 方程在 0 处具有边界奇点时变分解的存在性、非存在性及多重性。
• 理解在方程势能 $h$ 的 $C^1$-扰动下 Pohozaev 障碍的稳定性。
• 通过 $γ$ 和边界曲率的几何与谱条件，扩展先前关于最小能量解的结果，建立无穷多组高能量、可能变号解的存在性。
• 为处理高能量解并推导精确渐近行为，发展子临界逼近的精确爆破分析框架。

提出的方法

• 对临界方程的子临界逼近解使用精确爆破分析，推导在奇点 0 附近的精确渐近轮廓。
• 应用缩放引理并构造爆破尺度，以穷尽高能量解的所有可能集中情形。
• 使用强逐点估计和紧致性定理，控制解在边界和原点附近的性质。
• 利用局部 Pohozaev 恒等式，在不同缩放情形下估计 $L^{2^\star(s)}$ 和 $L^2$ 项、曲率贡献及边界项。
• 建立具有特定在 0 和无穷远处渐近行为的格林函数的存在性与唯一性，这对分析算子的强制性至关重要。
• 应用 Kelvin 变换和强制性论证，推导逐点衰减与增长估计，证明格林函数 $\mathcal{G}_p$ 的存在性与唯一性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种几何与谱条件下，具有边界奇点的 Hardy-Schrödinger 方程在 $H_{1,0}^2(\Omega)$ 中存在无穷多组高能量、变号解？
• RQ2 即使在区域为星形且 $h$ 较小时，经典 Pohozaev 障碍是否可在 $h$ 的 $C^1$-扰动下保持稳定？
• RQ3 当 $\gamma < \frac{n^2}{4} - 1$ 时，解与格林函数在边界奇点附近的精确渐近行为是什么？
• RQ4 0 处的平均曲率与质量如何影响 $h$ 的小扰动下正解的存在或非存在性？
• RQ5 差值 $\beta_+(\gamma) - \beta_-(\gamma)$ 在决定爆破速率和解的紧致性方面起什么作用？

主要发现

• 当 $\gamma < \frac{n^2}{4} - 1$ 且 $\partial\Omega$ 在 0 处的主曲率非正但不全为零时，方程在 $H_{1,0}^2(\Omega)$ 中存在无穷多组高能量、可能变号的解。
• 若 $\gamma \leq \frac{n^2}{4} - \frac{1}{4}$ 且 0 处的平均曲率为负，则方程存在正的最小能量解，扩展了先前结果。
• 当 0 处的平均曲率非零且质量也非零时，正解的非存在性在 $h$ 的 $C^1$-扰动下保持稳定，即使超出经典 Pohozaev 条件。
• 对于星形区域且 $h$ 足够接近 0 的情形，不存在正变分解，揭示了一个出乎意料的非存在性结果，超越了经典 Pohozaev 障碍。
• 在 $\mathbb{R}_-^n$ 上，算子 $-\Delta - \frac{\gamma}{|x|^2}$ 的格林函数 $\mathcal{G}_p$ 存在，且在 $|x_1||x|^{-\beta_-(\gamma)}$ 的倍数意义下唯一，其在 0 和无穷远处具有精确渐近行为。
• 解的爆破速率由指数 $\beta_+(\gamma)$ 和 $\beta_-(\gamma)$ 精确刻画，当 $\beta_+(\gamma) - \beta_-(\gamma) = 1$ 与 $\neq 1$ 时表现出不同行为，从而导致紧致性与存在性结果。