[论文解读] Multiplicity and uniform estimate for a class of variable order fractional $p(x)$-Laplacian problems with concave-convex nonlinearities

Reshmi Biswas, Sweta Tiwari|arXiv (Cornell University)|Oct 30, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 10被引用 6

一句话总结

本文建立了具有凹凸非线性项和非局部Choquard型项的变指数分数阶$p(x)$-Laplacian问题解的存在性与多重性。通过推导变指数Hardy-Sobolev-Littlewood不等式并应用变分方法，在指数与非线性项满足适当条件时，证明了至少存在两个非平凡弱解。

ABSTRACT

In this article, we study the existence/multiplicity results for the following variable order nonlocal Choquard problem with variable exponents \begin{equation*} \begin{array}{rl} (-Δ)_{p(\cdot)}^{s(\cdot)}u(x)&=λ|u(x)|^{α(x)-2}u(x)+\left(\DD\int_Ω\frac{F(y,u(y))}{|x-y|^{μ(x,y)}}dy ight)f(x,u(x)),\\ &~\hspace{6cm} x\in Ω, \\ u(x)&=0 ,\hspace{20mm} x\in Ω^c:=\mathbb R^N\setminusΩ, \end{array} \end{equation*} where $\Om\subset\mathbb R^N$ is a smooth and bounded domain, $N\geq 2$, $p,s,μ$ and $α$ are continuous functions on $\mathbb R^N imes\mathbb R^N$ and $f(x,t)$ is continuous function with $F(x,t):=\displaystyle\int_{0}^{t} f(x,s)ds$. Under suitable assumption on $s,p,μ,α$ and $f(x,t)$, first we study the analogous Hardy-Sobolev-Littlewood-type result for variable exponents suitable for the fractional Sobolev space with variable order and variable exponents. Then we give the existence/multiplicity results for the above equation.

研究动机与目标

• 研究具有凹凸非线性项的变指数分数阶$p(x)$-Laplacian方程弱解的存在性与多重性。
• 建立适用于分数阶Sobolev空间的变阶与变指数版本的Hardy-Sobolev-Littlewood不等式。
• 分析变指数$p(x), s(x), \mu(x,y)$与非线性项$f(x,u)$之间的相互作用，以确定解的多重性。
• 将变分方法扩展至具有变阶算子与非标准增长条件的非局部问题。
• 提供函数$p, s, \mu, \alpha$与$f$的充分条件，以确保至少存在两个非平凡弱解。

提出的方法

• 推导适用于变指数与变阶分数阶算子的广义Hardy-Sobolev-Littlewood型不等式。
• 在适当的变指数分数阶Sobolev空间中定义与非局部Choquard型方程相关的能量泛函。
• 应用山路定理与Ekeland变分原理，证明至少存在一个非平凡弱解。
• 采用Nehari流形方法分析能量泛函的结构，并证明多重解的存在性。
• 运用紧性论证与变指数空间中的Sobolev嵌入，确保Palais-Smale条件成立。
• 验证非线性项满足应用临界点理论所必需的生长与连续性条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有非局部Choquard项的变阶$p(x)$-Laplacian问题至少存在一个弱解，其中$p(x), s(x), \mu(x,y), \alpha(x)$与$f(x,u)$满足特定条件？
• RQ2 在适当的结构假设下，是否可以保证此类变指数与变阶问题存在多个弱解？
• RQ3 如何将Hardy-Sobolev-Littlewood不等式推广至变阶与变指数分数阶积分的设定中？
• RQ4 变指数与非局部积分项在相关能量泛函的紧性与几何结构中起何种作用？
• RQ5 在非局部与非标准增长框架下，凹凸非线性项如何影响解的多重性？

主要发现

• 建立了一类新的变阶与变指数Hardy-Sobolev-Littlewood不等式，使在相关分数阶Sobolev空间框架下的分析成为可能。
• 在适当的生长与强制性条件下，利用山路定理证明了至少存在一个非平凡弱解。
• 通过Nehari流形方法与能量泛函的几何结构，证明了至少存在两个非平凡弱解。
• 在所推导的不等式下，非局部Choquard型项在变指数分数阶Sobolev空间中被证明是良定义且连续的。
• 与问题相关的泛函在指定空间中满足Palais-Smale条件，确保Palais-Smale序列的收敛性。
• 在$N \geq 2$且$\Omega \subset \mathbb{R}^N$为光滑有界区域的条件下，结果在变指数连续有界假设下成立。