[论文解读] Multiplicity of continuous maps between manifolds

Роман Карасев|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2010

Advanced Algebra and Geometry参考文献 9被引用 5

一句话总结

本文通过分析映射 $f^*TN - TM$ 的虚拟丛的示性类，建立了流形间连续映射的重数下界。通过研究配置空间中的等变上同调类，证明了某些非零示性类（如斯蒂费尔-惠特尼类与庞特里亚金类）可保证重合 $q$-元组的存在。一个关键结果是，对从实射影空间到欧氏空间的映射，给出了非平凡的重数下界。

ABSTRACT

We consider a continuous map $f :M o N$ between two manifolds and try to estimate its multiplicity from below, i.e. find a $q$-tuple of pairwise distinct points $x_1,..., x_q\in M$ such that $f(x_1) = f(x_2) = ... = f(x_q)$. We show that there are certain characteristic classes of vector bundle $f^*TN-TM$ that guarantee a bound on the multiplicity of $f$. In particular, we prove some non-trivial bound on the multiplicity for a continuous map of a real projective space of certain dimension into a Euclidean space.

研究动机与目标

• 建立连续映射 between 流形 的多重点（重合 $q$-元组）存在的充分条件。
• 将关于双重点和浸入的结果推广至无光滑性或一般性假设的连续映射。
• 为从实射影空间到欧氏空间的映射推导重数的下界。
• 利用等变上同调估计配置空间的 Krasnosel’skii-Schwarz 拓扑范畴与 Lyusternik-Schnirelmann 范畴。
• 引入并计算可阻碍低重数嵌入或浸入存在的示性类。

提出的方法

• 使用流形 $M$ 中 $q$ 个互异点的配置空间 $K^q(M)$，其上配备自由的 $\Sigma_q$-作用。
• 分析 $\Sigma_q$-等变上同调类 $s_q(f) \in H^{n(q-1)}_{\Sigma_q}(K^q(M))$，作为消除重合 $q$-元组的障碍。
• 应用分裂原理，将虚拟丛 $f^*TN - TM$ 的示性类表示为斯蒂费尔-惠特尼类与庞特里亚金类的形式。
• 对 $q=2^l$ 引入示性类 $s_{q,m-n}$，对素数 $p$ 引入 $\alpha_{p,i}$，以检测多重点。
• 利用表示丛 $A_q \otimes (\xi^\perp \oplus \eta)$ 的欧拉类，在 $K^q(M)$ 中检测非平凡上同调类。
• 应用引理 4，将非零上同调类与 $K^q(M)/\Sigma_q$ 的拓扑范畴与范畴的下界联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 哪些虚拟丛 $f^*TN - TM$ 的示性类可保证连续映射 $f: M \to N$ 存在重合 $q$-元组？
• RQ2 能否为从 $\mathbb{R}P^n$ 到 $\mathbb{R}^m$ 的连续映射建立非平凡的重数下界？
• RQ3 法丛 $TM^\perp$ 的示性类如何影响配置空间 $K^q(M)$ 的拓扑范畴与范畴？
• RQ4 对奇素数 $p$，$p$-主示性类（模 $p$）在检测重合 $p$-元组中起什么作用？
• RQ5 能否利用上同调障碍，从下界估计 $K^q(M)/\Sigma_q$ 的 Krasnosel’skii-Schwarz 拓扑范畴与 Lyusternik-Schnirelmann 范畴？

主要发现

• 在某些条件下，示性类 $e(A_q \otimes (\xi^\perp \oplus \eta))$ 非零，意味着重合 $q$-元组的存在。
• 当 $q = 2^l$ 时，若非平凡，$H^{n(q-1)}_{\Sigma_q}(K^q(M))$ 中的类 $s_{q,m-n}$ 可检测多重点。
• 定理 3 在 $n$ 足够大时，为连续映射 $f: \mathbb{R}P^n \to \mathbb{R}^m$ 建立了非平凡的重数下界。
• 对素数 $p$ 的 $p$-元组，若非零，类 $\alpha_{p,i}(\eta - \xi)$ 可检测多重点，条件为 $\dim \eta - \dim \xi + 1 \leq 2i$。
• 推论 5 在 $q$ 为 2 的幂且 $\bar{w}_{d+1}^{q-1} \neq 0$ 时，给出下界 $g(K^q(M)) \geq (m+d)(q-1)+1$。
• 推论 7 表明，若存在某个 $i$ 使得 $\bar{\alpha}_{p,i} \neq 0$，则 $g(K^p(M)) \geq (m+2i-1)(p-1)+1$，为 $p$-元组提供了拓扑范畴估计。