[论文解读] Multiplicity of negative-energy solutions for singular-superlinear Schrödinger equations with indefinite-sign potential

Carlos Alberto Santos, Ricardo Alves Lima+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 18被引用 7

一句话总结

本文通过变分法与Nehari流形技术，证明了在 $\mathbb{R}^N$ 上具有变号势的奇异-超线性Schrödinger方程存在多个正解。尽管能量泛函不可微且Nehari集的边界相交非空，作者仍构造了互不相交的边界集合，并在这些集合上最小化能量，从而证明在极值参数值 $\hat{\lambda}$ 之外仍存在多个负能解，将先前结果推广至具有变号非线性项的无界区域。

ABSTRACT

We are concerned with the multiplicity of positive solutions for the singular superlinear and subcritical Schrödinger equation $$ \begin{array}{c} -Δu +V(x)u=λa(x)u^{-γ}+b(x)u^{p}~\mbox{in}~ \mathbb{R}^{N}, \end{array} $$ beyond the Nehari extremal value, as defined in Il'yasov [Topol. Methods Nonlinear Anal., 2017], when the potential $b \in L^{\infty}(\mathbb{R}^{N})$ may change its sign, $00$ is a real parameter. The main difficulties come from the non-differentiability of the energy functional and the fact that the intersection of the boundaries of the connected components of the Nehari set is non empty. We overcome these difficulties by exploring topological structures of that boundary to build non-empty sets whose boundaries have empty intersection and minimizing over them by controlling the energy level.

研究动机与目标

• 证明在 $\mathbb{R}^N$ 上具有变号势的奇异-超线性Schrödinger方程存在多个正解。
• 解决能量泛函不可微以及Nehari集中边界相交非空的挑战。
• 在无界区域设定下，将多重解结果扩展至极值参数值 $\hat{\lambda}$ 之外。
• 证明在极值参数处能量水平 $\tilde{J}^{-}_{\hat{\lambda}} = 0$ 成立，确保多重解阈值的精确性。

提出的方法

• 利用变分法与Nehari流形框架，分析与方程相关能量泛函的临界点。
• 构造具有互不相交边界的非空集合，以克服Nehari集中边界分量相交非空的问题。
• 在这些集合上应用最小化论证，以控制能量水平并确保解的存在性。
• 利用Nehari集边界拓扑结构，定义单调递减且左连续的能量泛函 $\tilde{J}^{-}_{\lambda}$。
• 采用Pohozaev的纤维化方法与Nehari的经典论证，细化临界参数的分析。
• 在变分框架下应用山路定理与上下解技术，建立解的存在性与多重性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在极值参数 $\hat{\lambda}$ 之外，证明具有变号势的奇异-超线性Schrödinger方程在 $\mathbb{R}^N$ 上存在多个正解？
• RQ2 在变分分析中，如何克服能量泛函不可微性以及Nehari集边界分量相交非空的问题？
• RQ3 参数 $\hat{\lambda}$ 在确定解多重性的阈值中起何种精确作用？
• RQ4 能量水平 $\tilde{J}^{-}_{\hat{\lambda}}$ 是否在极值处消失？这对多重解结果的精确性有何含义？

主要发现

• 本文证明当 $\lambda < \hat{\lambda}$ 时，至少存在两个正解，且多重性在Il’yasov定义的经典极值值之外依然成立。
• 确立了能量水平 $\tilde{J}^{-}_{\hat{\lambda}} = 0$，表明 $\hat{\lambda}$ 是多重解的精确阈值。
• 作者在具有互不相交边界的集合上构造了极小化序列，确保能量泛函的下确界可达且对 $\lambda < \hat{\lambda}$ 严格为负。
• 证明对任意解 $u_\lambda$，有 $\lambda^* \geq \lambda$，其中 $\lambda^*$ 是由相关特征值问题的第一特征值导出的临界参数。
• Nehari集 $\mathcal{N}_\lambda^-$ 中的解 $w_\lambda$ 满足 $\Phi_\lambda(w_\lambda) > 0$ 对所有 $0 < \lambda < \hat{\lambda}$ 成立，证实了负能解的存在性。
• 能量泛函 $\tilde{J}^{-}_{\lambda}$ 在 $0 < \lambda < \lambda_* + \epsilon$ 范围内单调递减且左连续，支持了解分支的连续性与单调性。