[论文解读] Multiplicity of positive solutions for a fractional Laplacian equations involving critical nonlinearity

Jinguo Zhang, Xiaochun Liu+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 11被引用 9

一句话总结

该论文通过变分方法和Nehari流形分析，证明了具有临界非线性和变号权函数的分数阶拉普拉斯方程至少存在两个正解。对于足够小的 λ > 0，该问题存在两个不同的正解：一个解在范数意义下趋于零，另一个解在缩放行为下集中于一点，并趋近于 ℝ^N 中极限问题的基态解。

ABSTRACT

In this paper we deal with the multiplicity of positive solutions to the fractional Laplacian equation \begin{equation*} (-Δ)^{\fracα{2}} u=λf(x)|u|^{q-2}u+|u|^{2^{*}_α-2}u, \quad ext{in}\,\,Ω, u=0, ext{on}\,\,\partialΩ, \end{equation*} where $Ω\subset \mathbb{R}^{N}(N\geq 2)$ is a bounded domain with smooth boundary, $00$ such that the problem has at least two positive solutions for each $λ\in (0\,,\,λ_{*})$. In addition, the concentration behavior of the solutions are investigated.

研究动机与目标

• 研究具有临界增长和凹-凸非线性的分数阶拉普拉斯方程的正解多重性。
• 将先前关于标准拉普拉斯算子的结果推广到具有变号权函数的分数阶情形。
• 分析参数 λ → 0 时解的集中行为。
• 利用变分方法和Nehari流形技术，证明当 λ > 0 足够小时至少存在两个正解。

提出的方法

• 在分数阶索伯列夫空间 $ H^{rac{\beta}{2}}_0(\bar{\theta}) $ 中表述问题，利用拉普拉斯算子的谱分解。
• 应用Caffarelli-Silvestre扩展，将非局部分数阶拉普拉斯算子转化为上半空间 $ \mathcal{C}_\Omega $ 中的局部问题。
• 采用变分方法和Nehari流形分解来识别能量泛函的临界点。
• 利用集中紧致性原理分析 λ → 0 时解的渐近行为。
• 通过在 $ \mathbb{R}^N $ 中极限问题的基态解进行缩放构造测试函数。
• 建立一致有界性，并利用 (PS) 序列论证证明解收敛到非平凡解。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有临界非线性和变号权函数的分数阶拉普拉斯方程在小 λ > 0 时是否具有多个正解？
• RQ2 当 λ → 0 时，解的渐近行为如何？
• RQ3 非零解的集中特性是否可表征为 $ \mathbb{R}^N $ 中缩放后的基态解？
• RQ4 Nehari流形分解如何帮助区分两个不同的正解？
• RQ5 变号权函数在解的多重性中起到什么作用？

主要发现

• 存在 $ \lambda_* > 0 $，使得对所有 $ \lambda \in (0, \lambda_*) $，该问题至少有两个正解。
• 一个解满足 $ \|u_n^{(1)}\|_{H^{rac{\alpha}{2}}_0(\Omega)} \to 0 $ 当 $ \lambda_n \to 0 $，表明其具有消失行为。
• 第二个解在点 $ x_n \in \Omega $ 处集中，且 $ R_n \to \infty $，并收敛于 $ \mathbb{R}^N $ 中临界问题的缩放基态解。
• 集中特性由 $ R_n^{\frac{N-\alpha}{2}} u_0(R_n(x - x_n)) $ 给出，其中 $ u_0 $ 是 $ \mathbb{R}^N $ 中方程 $ (-\Delta)^{\frac{\alpha}{2}} u = |u|^{2^*_\alpha - 2} u $ 的正解。
• 第二个解的能量泛函收敛于 $ \frac{\alpha}{2N} (\kappa_\alpha S(\alpha,N))^{\frac{N}{\alpha}} $，即分数阶索伯列夫嵌入的最优常数。
• 解序列 $ \{w_n^{(2)}\} $ 构成临界水平上的 (PS) 序列，其迹在适当缩放下收敛于缩放后的基态解。