[论文解读] Multiplicity of solutions for fractional Hamiltonian systems with Liouville-Weyl fractional derivative

Amado Méndez, César E. Torres Ledesma|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2014

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文通过临界点理论与亏格性质，证明了一类涉及Liouville-Weyl分数阶导数的分数阶哈密顿系统的无穷多解的存在性。在势能的次二次增长条件下，且矩阵 $ L(t) $ 满足非退化但严格正的下界，本文证明了无穷多非平凡解的存在，改进了先前结果，即去除了对 $ L(t) $ 的强制性假设。关键贡献在于，无需要求 $ L(t) \to \infty $，在次二次情形下建立了一种新的无穷多解存在性准则。

ABSTRACT

In this paper, we investigate the existence of infinitely many solutions for the following fractional Hamiltonian systems: \begin{eqnarray}\label{eq00} _{t}D_{\infty}^α(_{-\infty}D_{t}^αu(t)) + L(t)u(t) = & abla W(t,u(t))\\ u\in H^α(\mathbb{R}, \mathbb{R}^{N}). onumber \end{eqnarray} where $α\in (1/2, 1)$, $t\in \mathbb{R}$, $u\in \mathbb{R}^{n}$, $L\in C(\mathbb{R}, \mathbb{R}^{n^2})$ is a symmetric and positive definite matrix for all $t\in \mathbb{R}$, $W\in C^{1}(\mathbb{R} imes \mathbb{R}^{n}, \mathbb{R})$, and $ abla W$ is the gradient of $W$ at $u$. The novelty of this paper is that, assuming there exists $l\in C(\mathbb{R}, \mathbb{R})$ such that $(L(t)u,u)\geq l(t)|u|^{2}$ for all $t\in \mathbb{R}$, $u\in \mathbb{R}^{n}$ and the following conditions on $l$: $\inf_{t\in \mathbb{R}}l(t) >0$ and there exists $r_{0}>0$ such that, for any $M>0$ $$ m(\{t\in (y-r_{0}, y+r_{0})/\;\;l(t)\leq M\}) o 0\;\;\mbox{as}\;\;|y| o \infty. $$ are satisfied and $W$ is of subquadratic growth as $|u| o +\infty$, we show that ( ef{eq00}) possesses infinitely many solutions via the genus properties in the critical theory. Recent results in [Z. Zhang and R. Yuan, Solutions for subquadratic fractional Hamiltonian systems without coercive conditions, Math. Methods Appl. Sci., DOI: 10.1002/mma.3031] are significantly improved.

研究动机与目标

• 研究涉及Liouville-Weyl分数阶导数的分数阶哈密顿系统中无穷多解的存在性。
• 通过去除对 $ L(t) $ 的强制性假设，扩展近期关于次二次哈密顿系统的结果，此前要求 $ L(t) \to \infty $ 当 $ |t| \to \infty $。
• 利用临界点理论中的亏格性质，建立无穷多非平凡解存在的新准则。
• 分析能量泛函的行为以及临界值 $ c_j \to 0^- $ 随 $ j \to \infty $ 的收敛性。

提出的方法

• 通过左、右Liouville-Weyl分数阶导数的复合形式表述分数阶哈密顿系统：$ {}_{t}D_{\infty}^{\alpha}({}_{-\infty}D_{t}^{\alpha}u(t)) + L(t)u(t) = \nabla W(t,u(t)) $。
• 在分数阶Sobolev空间 $ H^{\alpha}(\mathbb{R}, \mathbb{R}^N) $ 上进行研究，其范数包含分数阶导数与 $ L^2 $-范数的组合。
• 应用临界点理论中的亏格理论，证明能量泛函 $ I(u) $ 存在无穷多临界点。
• 对 $ L(t) $ 施加条件：$ (L(t)u,u) \geq l(t)|u|^2 $，其中 $ \inf l(t) > 0 $，且 $ l(t) $ 满足在无穷远处的测度趋于零条件。
• 假设 $ W $ 为次二次：当 $ |u| \to 0 $ 时，$ |\nabla W(t,u)| = o(|u|) $，且 $ W(t,u) \geq a(t)|u|^\theta $，其中 $ \theta < 2 $，$ b \in L^{2/(2-\theta)}(\mathbb{R}) $。
• 利用紧嵌入与弱收敛论证，证明 $ \beta_j = \sup_{\|u\|_{X^\alpha}=1, u \in Z_j} \|u\|_{L^2} \to 0 $ 当 $ j \to \infty $，这是证明 $ c_j \to 0^- $ 的关键。

实验结果

研究问题

• RQ1 在势能的次二次增长条件下，能否证明涉及Liouville-Weyl导数的分数阶哈密顿系统存在无穷多解？
• RQ2 能否去除或显著弱化先前研究中对 $ L(t) $ 强制性假设的要求？
• RQ3 在什么条件下，能量泛函的临界值 $ c_j $ 满足 $ c_j \to 0^- $ 当 $ j \to \infty $？
• RQ4 如何有效应用亏格理论于具有非周期、非自治系数的分数阶哈密顿系统？

主要发现

• 在 $ W $ 的次二次增长条件与 $ L(t) $ 的弱化条件下，系统存在无穷多非平凡解，其中 $ \inf l(t) > 0 $ 且 $ l(t) $ 满足在无穷远处的测度趋于零条件。
• 能量泛函的临界值 $ c_j $ 满足 $ c_j \to 0^- $ 当 $ j \to \infty $，表明解在能量上趋于零。
• 通过Hölder不等式与 $ b(t) $ 在 $ L^{2/(2-\theta)} $ 中的有界性，建立了能量泛函 $ I(u) $ 的强制性，确保当 $ \|u\|_{X^\alpha} \to \infty $ 时 $ I(u) \to \infty $。
• 证明依赖于构造一系列对称集 $ S_j^\delta $，其亏格为 $ j $，并利用奇同胚证明 $ \gamma(I^{-\epsilon}) \geq j $，从而推出无穷多临界点。
• 该结果改进了Zhang与Yuan的早期工作，去除了要求 $ l(t) \to \infty $ 的条件，从而允许非强制但严格正的 $ L(t) $。
• 对 $ l(t) $ 的测度趋于零条件，即 $ m(\{t \in (y-r_0,y+r_0) : l(t) \leq M\}) \to 0 $ 当 $ |y| \to \infty $，确保了变分框架中必要的紧性。