[论文解读] Multiplicity One Theorem for the Ginzburg-Rallis Model: the tempered case

Chen Wan|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文在 p-adic 和实局部域上的温迪特表示情形下，证明了吉涅茨堡-拉利斯模型的唯一性定理，确立了标准模型与四元数模型中重数之和为一。通过使用瓦尔德斯堡与布扎尔-普莱西的方法，借助局部相对迹公式推导出几何重数公式，并在阿基米德情形下将重数与 L 函数的 epsilon 因子联系起来。

ABSTRACT

Following the method developed by Waldspurger and Beuzart-Plessis in their proof of the local Gan-Gross-Prasad conjecture, we are able to prove the multiplicity one theorem for the Ginzburg-Rallis model over the Vogan packets in the tempered case. In some cases, we can also relate the multiplicity to the epsilon factor. This is a sequel of our work \cite{Wan15} in which we consider the supercuspidal case.

研究动机与目标

• 在 p-adic 和实局部域上，针对温迪特表示情形，建立吉涅茨堡-拉利斯模型的唯一性定理。
• 验证姜的猜想：对于温迪特表示，分裂模型与四元数模型中重数之和等于一。
• 在阿基米德情形下，将重数与标准 L 函数的 epsilon 因子联系起来。
• 发展并应用吉涅茨堡-拉利斯模型的局部相对迹公式，以推导几何重数公式。
• 将瓦尔德斯堡与布扎尔-普莱西的方法扩展至吉涅茨堡-拉利斯情形，建立在上一任超临界情形工作的基础之上。

提出的方法

• 利用瓦尔德斯堡对局部甘-格罗布-普拉萨德猜想的方法，以及布扎尔-普莱西对酉情形的技术。
• 应用吉涅茨堡-拉利斯模型的局部相对迹公式，其定义为积分 $ I(f) = \int_{H(F)\backslash G(F)} I(f,g) dg $，其中 $ I(f,x) = \int_{Z_H(F)\backslash H(F)} f(x^{-1}hx) \xi(h)\omega(h) dh $。
• 在 $ C_c^\infty(Z_G(F)\backslash G(F), \chi^{-2}) $ 中使用强尖形式函数的概念，通过加权轨道积分定义谱侧。
• 在 $ G(F) $ 上引入一个拟特征标 $ \theta_f $，其在正则半单元素 $ t \in T_{\text{reg}}(F) $ 处的胚展开给出了系数 $ c_{\theta_f, \mathcal{O}_t}(t) $。
• 将几何重数 $ m_{\text{geom}}(\pi) $ 定义为对所有 $ T \in \mathcal{T} $ 的和，涉及 $ |W(H,T)|^{-1} \nu(T) \int_{Z_G(F)\backslash T(F)} c_\pi(t) D^H(t) \chi(\det(t))^{-1} dt $。
• 利用雅克布-兰格兰兹对应，将 $ \mathrm{GL}_6(F) $ 上的表示与 $ \mathrm{GL}_3(D) $ 上的表示联系起来，并证明对于温迪特 $ \pi $，有 $ m(\pi) + m(\pi_D) = 1 $。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $ \mathrm{GL}_6(F) $ 的温迪特表示，吉涅茨堡-拉利斯模型的重数是否为零或等于一？
• RQ2 分裂与四元数吉涅茨堡-拉利斯模型中重数之和是否对温迪特表示等于一？
• RQ3 重数能否通过包含幂零轨道与环的迹公式以几何方式表达？
• RQ4 在阿基米德情形下，epsilon 因子 $ \epsilon(1/2, \pi, \wedge^3) $ 如何与重数相关联？
• RQ5 能否将超临界情形下使用的方法，通过瓦尔德斯堡与布扎尔-普莱西的技术，扩展至温迪特情形？

主要发现

• 任意具有中心特征标 $ \chi^2 $ 的 $ \mathrm{GL}_6(F) $ 的不可约温迪特表示 $ \pi $，其重数 $ m(\pi) $ 满足 $ m(\pi) \leq 1 $，且 $ m(\pi) + m(\pi_D) = 1 $，其中 $ \pi_D $ 是到 $ \mathrm{GL}_3(D) $ 的雅克布-兰格兰兹提升。
• 当 $ F = \mathbb{R} $ 时，重数 $ m(\pi) = 1 $ 当且仅当 $ \epsilon(1/2, \pi, \wedge^3) = 1 $，且 $ m(\pi) = 0 $ 当且仅当 $ \epsilon(1/2, \pi, \wedge^3) = -1 $。
• 对于 p-adic 域，相同的 epsilon 因子条件决定了重数：若 $ \pi $ 不是离散系列，则 $ m(\pi) = 1 \iff \epsilon(1/2, \pi, \wedge^3) = 1 $。
• 几何重数公式 $ m(\pi) = m_{\text{geom}}(\pi) $ 对温迪特表示成立，其中对所有 $ T \in \mathcal{T} $ 求和，系数由拟特征标的胚展开导出。
• 迹公式积分 $ I(f) $ 对于强尖形式函数绝对收敛，确保了谱侧与几何侧分解的有效性。
• 该方法成功地将唯一性结果从超临界情形推广至温迪特情形，完成了对此设定下姜猜想的验证。