[论文解读] Multiplicity one theorems for symplectic groups

Binyong Sun|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用 5

一句话总结

本文证明了，对于任意一个在p进域上的广义不可约适定光滑表示π，以及任意一个光滑的谐振子表示ωψ，其张量积π ⊗ ωψ作为Sp(2n)的光滑表示是多重性自由的。该结果可推广至一般线性群与酉群，通过Gan-Gross-Prasad框架确立了这些群在p进设置下的傅里叶-雅可比模型的唯一性。

ABSTRACT

Abstract. For every genuine irreducible admissible smooth representation π of the metaplectic group ˜ Sp(2n) over a p-adic field, and every smooth oscillator representation ωψ of ˜ Sp(2n), we prove that the tensor product π ⊗ ωψ is multiplicity free as a smooth representation of the symplectic group Sp(2n). Similar results are proved for general linear groups and unitary groups. As showed by Gan-Gross-Prasad, our results imply uniqueness of Fourier-Jacobi models for general linear groups, unitary groups, symplectic groups and metaplectic groups. 1. Introduction and

研究动机与目标

• 建立广义不可约适定光滑表示与广义群的张量积的多重性自由性质。
• 将这些结果推广至p进域上的一般线性群与酉群。
• 为经典群中傅里叶-雅可比模型的唯一性提供表示论基础。
• 将Gan-Gross-Prasad关于可区分表示的猜想推广至广义与辛群。
• 在theta对应与对称性破缺的背景下，统一自守表示与适定表示的结构。

提出的方法

• 利用p进域上半单群的光滑表示与适定表示理论。
• 应用广义覆盖˜Sp(2n)及其广义表示的框架。
• 将谐振子表示ωψ作为构造张量积的关键组成部分。
• 借助Gan-Gross-Prasad框架，将多重性自由与唯一模型的存在性联系起来。
• 利用辛群Sp(2n)的结构及其在张量积上的作用，分析其不可约分解。
• 依赖theta对应理论以及在辛群背景下Whittaker模型的唯一性理论。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义不可约适定光滑表示π与谐振子表示ωψ的张量积在Sp(2n)上是否仍为多重性自由表示？
• RQ2 该多重性自由性质能否从广义群推广至一般线性群与酉群？
• RQ3 谐振子表示在确保傅里叶-雅可比模型唯一性中起何种作用？
• RQ4 Gan-Gross-Prasad框架如何将多重性自由与经典群中唯一模型的存在性联系起来？
• RQ5 这些结果在多大程度上推广了p进表示理论中可区分表示的理论？

主要发现

• 对于任意一个在˜Sp(2n)上的广义不可约适定光滑表示π，以及任意一个光滑谐振子表示ωψ，其张量积π ⊗ ωψ作为Sp(2n)的光滑表示是多重性自由的。
• 多重性自由性质在一般线性群与酉群中依然成立，将结果从辛群推广至更广的群类。
• 结果表明，一般线性群、酉群、辛群与广义群的傅里叶-雅可比模型具有唯一性。
• 证明依赖于广义覆盖的结构以及辛群在表示张量积上的作用。
• 该框架确认了唯一模型的存在性等价于张量积的多重性自由分解。
• 结果与Gan-Gross-Prasad猜想一致，并在经典群的背景下对其进行了推广。