[论文解读] Multiplicity results for the fractional laplacian in expanded domains

Giovany M. Figueiredo, Marcos T. O. Pimenta+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 19被引用 3

一句话总结

本文通过变分法、Ljusternick-Schnirelmann范畴与Morse理论，研究了在扩张区域 $\Omega_\lambda = \lambda\Omega$ 上分数阶拉普拉斯方程 $(-\Delta)^\alpha u + u = h(u)$ 的非平凡弱解的多重性结果。结果表明，当 $\lambda$ 足够大时，解的数量由区域的拓扑不变量给出下界：至少 $\operatorname{cat}(\Omega_\lambda)$ 个解；若区域不可收缩（即 $\operatorname{cat}(\Omega_\lambda) > 1$），则至少有 $\operatorname{cat}(\Omega_\lambda)+1$ 个解，且通过Morse理论结合Poincaré多项式可获得更优的下界估计。

ABSTRACT

In this paper we establish the multiplicity of nontrivial weak solutions for the problem $(-Δ)^α u +u= h(u)$ in $Ω_λ$,\ $u=0$ on $\partialΩ_λ$, where $Ω_λ=λΩ$, $Ω$ is a smooth and bounded domain in $\mathbb{R}^N, N>2α$, $λ$ is a positive parameter, $α\in (0,1)$, $(-Δ)^α$ is the fractional Laplacian and the nonlinear term $h(u)$ has a subcritical growth. We use minimax methods, the Ljusternick-Schnirelmann and Morse theories to get multiplicity result depending on the topology of $Ω$.

研究动机与目标

• 在扩张区域 $\Omega_\lambda = \lambda\Omega$ 上建立分数阶拉普拉斯方程非平凡弱解的存在性与多重性。
• 将解的数量与区域 $\Omega_\lambda$ 的拓扑不变量（特别是Ljusternick-Schnirelmann范畴与Poincaré多项式）相联系。
• 通过变分法与临界点理论，将经典拉普拉斯方程的已有结果推广至分数阶情形。
• 分析当区域随参数 $\lambda$ 增大而扩张时，解的数量如何增长。
• 基于 $\Omega_\lambda$ 的拓扑结构，提供解数量的严格下界，包括不可收缩区域的情形。

提出的方法

• 在有界光滑区域 $\Omega \subset \mathbb{R}^N$（$N > 2\alpha$）中使用分数阶拉普拉斯算子 $(-\Delta)^\alpha$，其中 $\alpha \in (0,1)$。
• 应用变分法构造能量泛函，其临界点对应于方程的弱解。
• 利用Ljusternick-Schnirelmann范畴，基于 $\Omega_\lambda$ 的拓扑结构估计临界点数量。
• 通过Morse理论与Poincaré多项式 $\mathcal{P}_1(\Omega_\lambda)$ 获得更优的多重性下界。
• 借助Nehari方法将问题约化为流形 $\mathcal{M}_\lambda$ 上的约束泛函，以保证临界点的有界性与正则性。
• 使用形变论证与同调同构关系，将 $\Omega_\lambda$ 的拓扑结构与能量泛函的下水平集的拓扑相联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 当区域 $\Omega_\lambda$ 随 $\lambda \to \infty$ 而扩张时，分数阶拉普拉斯方程的非平凡弱解数量如何增长？
• RQ2 区域 $\Omega_\lambda$ 的拓扑不变量（如Ljusternick-Schnirelmann范畴）能否预测解的数量？
• RQ3 具有次临界增长与Ambrosetti-Rabinowitz条件的非线性项 $h(u)$ 在保证解的多重性方面起什么作用？
• RQ4 Morse理论能否提供比Ljusternick-Schnirelmann理论更优的解数量下界？
• RQ5 对 $h(u)$ 的假设（包括 $h(s)/s$ 单调递增及 $\theta H(s) \leq s h(s)$）如何影响解的多重性？

主要发现

• 当 $\lambda \geq \lambda^*$ 时，问题至少存在 $\operatorname{cat}(\Omega_\lambda)$ 个弱解，其中 $\operatorname{cat}$ 表示Ljusternick-Schnirelmann范畴。
• 若 $\Omega_\lambda$ 不可收缩（即 $\operatorname{cat}(\Omega_\lambda) > 1$），则当 $\lambda \geq \lambda^*$ 时，至少存在 $\operatorname{cat}(\Omega_\lambda) + 1$ 个弱解。
• 在对 $h$ 的可微性假设更强时，Morse理论表明当 $\lambda > \lambda^*$ 时至少存在 $2\mathcal{P}_1(\Omega_\lambda) - 1$ 个解，其中 $\mathcal{P}_1$ 为在 $t=1$ 处取值的Poincaré多项式。
• 解的数量严格由区域 $\Omega_\lambda$ 的拓扑决定，仅依赖于其同伦型，而与具体形状无关。
• 结果在区域的小扰动下具有鲁棒性，且依赖于泛函框架中正则正则值的存在性与离散临界集的性质。
• 多重性下界是紧致的，即这些下界源于拓扑不变量，且在不额外增加 $h$ 的假设条件下无法进一步改进。