[论文解读] MULTIPLICITY RESULTS IN THE NON-COERCIVE CASE FOR AN ELLIPTIC PROBLEM WITH CRITICAL GROWTH IN THE GRADIENT

Colette De Coster, Louis Jeanjean|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 25被引用 20

一句话总结

本文在非强制情形（即 $\lambda > 0$）下，针对具有临界梯度增长 $|\nabla u|^2$ 的拟线性椭圆型 PDE，建立了多重解结果。通过去除对低阶项 $h(x)$ 的符号假设，揭示了在 $\lambda = 0$ 处的行为对半空间 $\lambda > 0$ 中解结构具有深远影响，并证明了即使当 $h$ 为正或负时，仍存在与 $h$ 符号相反的解。

ABSTRACT

Abstract. We consider the boundary value problem (Pλ) −∆u = λc(x)u+ µ(x)|∇u|2 + h(x), u ∈ H10 (Ω) ∩ L∞(Ω), where Ω ⊂ RN, N ≥ 3 is a bounded domain with smooth boundary. It is assumed that c 0, c, h belong to Lp(Ω) for some p> N. Also µ ∈ L∞(Ω) and µ ≥ µ1> 0 for some µ1 ∈ R. It is known that when λ ≤ 0, problem (Pλ) has at most one solution. In this paper we study, under various assumptions, the structure of the set of solutions of (Pλ) assuming that λ> 0. Our study unveils the rich structure of this problem. We show, in particular, that what happen for λ = 0 influences the set of solutions in all the half-space]0,+∞[×(H10 (Ω)∩ L∞(Ω)). Most of our results are valid without assuming that h has a sign. If we require h to have a sign, we observe that the set of solutions differs completely for h 0 and h 0. We also show when h has a sign that solutions not having this sign may exists. Some uniqueness results of signed solutions are also derived. The paper ends with a list of open problems. 1.

研究动机与目标

• 分析当 $\lambda > 0$ 时，具有二次梯度增长和非强制低阶项 $\lambda c(x)u$ 的拟线性椭圆问题的解集。
• 研究 $\lambda > 0$ 区域中解结构如何受 $\lambda = 0$ 处行为的影响，特别是当 $h$ 变号时的情形。
• 证明即使 $h$ 严格为正或负，仍存在与 $h$ 符号相反的解。
• 去除对 $h$ 的符号假设，表明在非强制情形下，多重解与解结构比以往所知更加丰富。

提出的方法

• 利用严格次解与超解构造解算子，并应用度理论。
• 对修改后问题所关联的解算子应用 Leray-Schauder 度，以在有界区域内证明解的存在性。
• 在 $C^1(\overline{\Omega})$ 上构造一个不动点算子 $\overline{\mathcal{M}}$，以寻找边值问题的解。
• 利用强最大值原理排除内部极大值与极小值，确保次解与超解之间具有严格序关系。
• 利用度的挖去性与同伦不变性，将原算子与修改后算子的度联系起来。
• 通过紧性与解集的有限交性质，证明极值解的存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $h$ 未假设具有符号时，具有临界梯度增长的椭圆问题在 $\lambda > 0$ 时的解集行为如何？
• RQ2 在 $\lambda = 0$ 处的行为对半空间 $\lambda > 0$ 中的解结构有何影响？
• RQ3 即使 $h \gneqq 0$ 或 $h \lneqq 0$，是否仍可能存在与 $h$ 符号相反的解？
• RQ4 在 $\lambda > 0$ 且 $\lambda c(x) \gneqq 0$ 时，问题在何种条件下存在多重解？
• RQ5 当 $h$ 为正与为负时，解结构有何不同？在每种情况下是否可能存在符号相反的解？

主要发现

• 在 $\lambda > 0$ 区域中，解集强烈受 $\lambda = 0$ 处行为的影响，尽管 $\lambda > 0$ 意味着低阶项是非强制的。
• 即使 $h \gneqq 0$ 或 $h \lneqq 0$，仍可能存在与 $h$ 符号相反的解，表明 $h$ 的符号并不能完全决定解的符号。
• 在适当条件下，对于任意的下解 $\alpha$ 与上解 $\beta$，问题在区间 $[\alpha, \beta]$ 内至少存在一个解。
• 解算子在 $C^1(\overline{\Omega})$ 的有界球内存在不动点，且 Leray-Schauder 度为 1，意味着至少存在一个解。
• 在有序区间 $[\alpha, \beta]$ 中存在极值解，且解集在 $C^1(\overline{\Omega})$ 中是紧的。
• 解算子的度在问题修改后保持不变，从而可利用度理论证明解的存在性与多重性。