[论文解读] Multiplier Hopf algebras imbedded in C$^*$-algebraic quantum groups

Kenny De Commer, Alfons Van Daele|ArXiv.org|Nov 28, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 9被引用 10

一句话总结

本文研究了嵌入局部紧量子群中的乘子霍普夫代数的解析结构，表明在适当条件下，此类代数可继承完整的解析结构，并成为代数量子群。关键结果是，∗-代数量子群的伸缩常数必须为 1，通过证明伸缩群在哈尓测度下实际上是不变的（而非仅相对不变），从而解决了该领域的一个开放问题。

ABSTRACT

Let $(A,Δ)$ be a locally compact quantum group and $(A_0,Δ_0)$ a regular multiplier Hopf algebra. We show that if $(A_0,Δ_0)$ can in some sense be imbedded in $(A,Δ)$, then $A_0$ will inherit some of the analytic structure of $A$. Under certain conditions on the imbedding, we will be able to conclude that $(A_0,Δ_0)$ is actually an algebraic quantum group with a full analytic structure. The techniques used to show this, can be applied to obtain the analytic structure of a $^*$-algebraic quantum group {\it in a purely algebraic fashion}. Moreover, the {\it reason} that this analytic structure exists at all, is that the one-parameter groups, such as the modular group and the scaling group, are diagonizable. In particular, we will show that necessarily the scaling constant $μ$ of a $^*$-algebraic quantum group equals 1. This solves an open problem.

研究动机与目标

• 研究嵌入局部紧量子群中的正则乘子霍普夫代数是否能从周围量子群继承解析结构。
• 确定在何种条件下，此类嵌入的乘子霍普夫代数会成为具有完整解析结构的代数量子群。
• 解决∗-代数量子群的伸缩常数 μ 是否必须为 1 的开放问题。
• 通过纯代数方法推导∗-代数量子群上存在正的右不变泛函，避免使用分析技术。
• 探讨在∗-代数量子群背景下，一参数群（模和伸缩）可对角化的结构含义。

提出的方法

• 通过共乘法相容性定义乘子霍普夫代数 $A_0$ 嵌入局部紧量子群 $(A, \triangle)$：对所有 $a,b \in A_0$，有 $\triangle_0(a)(1 \otimes b) = \triangle(a)(1 \otimes b)$。
• 区分嵌入到C∗-代数 $A$ 与冯诺依曼代数 $M$ 的情况，表明在温和条件下，仅前者能保证一参数群下的不变性。
• 利用模和伸缩一参数群的可对角化性质，推导出伸缩常数 $\mu$ 必须为 1。
• 应用对偶与配对理论的技术，特别是利用紧致量子群 $\mathscr{B} = SU_q(2)$ 的对偶，构造显式例子。
• 利用 $\mathscr{B}$ 与 $A_0 = U_q(su(2))$ 之间的配对，将 $A_0$ 实现为 $M(\widehat{\mathscr{B}})$（即对偶的乘子代数）中的稠密∗-子代数。
• 分析模和伸缩群 $\sigma_z$ 与 $\theta_z$ 对 $A_0$ 生成元 $K$ 和 $E$ 的作用，表明 $\sigma_z(E) = q^{2iz}E$，$\sigma_z(K) = K$，且 $\theta_z(E) = q^{2iz}E$，$\theta_z(K) = K$。

实验结果

研究问题

• RQ1 嵌入局部紧量子群中的正则乘子霍普夫代数能否从周围C∗-代数量子群继承解析结构？
• RQ2 在何种条件下，此类嵌入意味着乘子霍普夫代数成为代数量子群？
• RQ3 尽管早期结果仅表明伸缩群是相对不变的，∗-代数量子群的伸缩常数 $\mu$ 是否必然等于 1？
• RQ4 能否完全通过代数方法证明∗-代数量子群上存在正的右不变泛函，而无需依赖分析方法？
• RQ5 模和伸缩的一参数群在多大程度上对∗-代数量子群的生成元实现对角作用？这对整体结构有何含义？

主要发现

• ∗-代数量子群的伸缩常数 $\mu$ 必然为 1，解决了文献[8]提出的一个开放问题。
• 模和伸缩一参数群在 $U_q(su(2))$ 的生成元上实现对角作用，满足 $\sigma_z(E) = q^{2iz}E$，$\sigma_z(K) = K$，且 $\theta_z(E) = q^{2iz}E$，$\theta_z(K) = K$。
• 通过与 $\mathscr{B} = SU_q(2)$ 的配对，将 $A_0 = U_q(su(2))$ 嵌入 $M(\widehat{\mathscr{B}})$，使得 $A_0$ 成为在模和伸缩群作用下不变的乘子霍普夫∗-代数。
• 尽管 $A_0$ 在模和伸缩群作用下不变，但其在左乘以模元素 $\delta^{it} = K^{-4it}$ 下不不变，因为 $\delta^{it}$ 不属于 $A_0$。
• $A_0 \cap \widehat{\mathscr{B}} = \{0\}$，表明 $A_0$ 不包含于对偶量子群的C∗-代数中。
• ∗-代数量子群上正的右不变泛函的存在性可完全通过代数方法推导，无需依赖分析构造。