[论文解读] Multiplier Hopf *-algebras with positive integrals: A laboratory for locally compact quantum groups

Alfons Van Daele|ArXiv.org|May 27, 2002

Advanced Operator Algebra Research参考文献 14被引用 13

一句话总结

本文确立了具有正积分的乘子霍普夫 ∗-代数作为局部紧量子群的基础代数模型，使研究者能够在不涉及完整 C*-框架分析复杂性的情况下，探讨对偶性、傅里叶变换和模理论等关键结构。核心贡献是通过傅里叶变换推导出模共轭算子与模算子的关系，表明对偶系统结构在该变换下得以保持。

ABSTRACT

Any multiplier Hopf *-algebra} with positive integrals gives rise to a locally compact quantum group (in the sense of Kustermans and Vaes). As a special case of such a situation, we have the compact quantum groups (in the sense of Woronowicz) and the discrete quantum groups (as introduced by Effros and Ruan). In fact, the class of locally compact quantum groups arising from such multiplier Hopf *-algebras} is self-dual. The most important features of these objects are (1) that they are of a purely algebraic nature and (2) that they have already a great complexity, very similar to the general locally compact quantum groups. This means that they can serve as a good model for the general objects, at least from the purely algebraic point of view. They can therefore be used to study various aspects of the general case, without going into the more difficult technical aspects, due to the complicated analytic structure of a general locally compact quantum group. In this paper, we will first recall the notion of a multiplier Hopf *-algebra} with positive integrals. Then we will illustrate how these {\it algebraic quantum groups} can be used to gain a deeper understanding of the general theory. An important tool will be the Fourier transform. We will also concentrate on certain actions and how they behave with respect to this Fourier transform. On the one hand, we will study this in a purely algebraic context while on the other hand, we will also pass to the Hilbert space framework.

研究动机与目标

• 证明具有正积分的乘子霍普夫 ∗-代数为研究局部紧量子群提供了一个纯粹的代数框架。
• 表明此类代数量子群能够捕捉一般局部紧量子群的所有关键特征，包括对偶性和模理论。
• 利用傅里叶变换作为工具，关联对偶系统中左正则表示生成的冯诺依曼代数。
• 通过定义 4.6 中的泛函 f，阐明对偶系统中模共轭算子与模算子之间的关系。
• 通过首先掌握代数情形，为理解一般局部紧量子群理论提供一个切入点。

提出的方法

• 本文首先回顾具有正积分的乘子霍普夫 ∗-代数的定义，该定义构成了局部紧量子群的代数基础。
• 引入一对对偶的乘子霍普夫 ∗-代数 (A, B)，并构造傅里叶变换 F 为希尔伯特空间 H 与 Ĥ 之间的酉算子。
• 利用傅里叶变换关联 H 上的冯诺依曼代数 M 和 N，以及 Ĥ 上的 N̂ 和 M̂，表明 F 将 M 映射到 N，将 N̂ 映射到 M̂。
• 关键技术工具是通过傅里叶变换定义的酉算子 U，其满足 U*(Ĵ⊗J) = Jf 和 U*∇fU = ∇f⊗∇，从而将对偶系统的模结构联系起来。
• 通过极分解和泛函 f 的性质，推导出模共轭算子与模算子的关系：Jf = U*(Ĵ⊗J) 和 ∇f = Ĥ⊗∇。
• 证明 N 和 N̂ 上的一参数自同构群 τt 和 τ̂t 满足 τt(x) = Ĥ^{it}xĤ^{-it} 和 τ̂t(y) = ∇^{it}y∇^{-it}，并通过泛函 f 的形式推导表明 S(a) = Rτ_{-i/2}(λ(a))。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在不使用 C*-代数和权重的完整分析工具的情况下，在纯粹代数框架中研究局部紧量子群的结构？
• RQ2 傅里叶变换在关联对偶对乘子霍普夫 ∗-代数中左正则表示生成的冯诺依曼代数方面起到什么作用？
• RQ3 对偶系统中的模共轭算子与模算子如何通过傅里叶变换与原系统中的对应算子相关联？
• RQ4 定义 4.6 中的泛函 f 是否可用于推导对偶系统中的模自同构与模共轭算子关系？
• RQ5 基于具有正积分的乘子霍普夫 ∗-代数的代数量子群在多大程度上捕捉了一般局部紧量子群的关键特征？

主要发现

• 傅里叶变换 F 将由 π(A) 生成的冯诺依曼代数 M 映射到由 λ(B) 生成的冯诺依曼代数 N，同样将 Ĥ̂N 映射到 Ĥ̂M，从而在表示空间之间建立了对偶性。
• 模共轭算子满足 Jf = U*(Ĵ⊗J)，模算子满足 ∇f = Ĥ⊗∇，表明对偶系统的模结构由原系统模算子的张量积编码。
• 酉算子 U 与模算子 ∇f 交换，这确保了傅里叶变换与模理论之间的相容性。
• N 上的一参数自同构群 τt 由 τt(x) = Ĥ^{it}xĤ^{-it} 给出，N̂ 上的 τ̂t 同理，证实了对偶表示的模协变性。
• 反演算子 S 满足关系 λ(S(a)) = Rτ_{-i/2}(λ(a)) 对所有 a ∈ A 成立，其中 R(x) = Ĥx*Ĥ，且对 B 同样成立，这在代数框架中推广了 KMS 类型关系。
• 定义在定义 4.6 中的泛函 f 在推导模关系中起着关键作用，其使用使得在纯粹代数框架下恢复了库斯特定理与瓦埃斯一般理论中的关键公式。