[论文解读] Multiplier Hopf and bi-algebras

K. Janssen, Joost Vercruysse|ArXiv.org|Jan 20, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 13被引用 9

一句话总结

本文通过在非单位元、幂等、$k$-投影代数的张量范畴中引入乘子双代数，为乘子霍普夫代数提供了一个范畴框架。它证明：一个非退化、幂等、$k$-投影代数是乘子双代数，当且仅当其扩张类、左模类与右模类在$ k $-模类上构成严格张量范畴的遗忘函子图，并且通过卷积逆反演算提供乘子霍普夫代数的统一范畴解释。

ABSTRACT

We propose a categorical interpretation of multiplier Hopf algebras, in analogy to usual Hopf algebras and bialgebras. Since the introduction of multiplier Hopf algebras by Van Daele in [A. Van Daele, Multiplier Hopf algebras, {\em Trans. Amer. Math. Soc.}, {\bf 342}(2), (1994) 917--932.] such a categorical interpretation has been missing. We show that a multiplier Hopf algebra can be understood as a coalgebra with antipode in a certain monoidal category of algebras. We show that a (possibly non-unital, idempotent, non-degenerate, $k$-projective) algebra over a commutative ring $k$ is a multiplier bialgebra if and only if the category of its algebra extensions and both the categories of its left and right modules are monoidal and fit, together with the category of $k$-modules, into a diagram of strict monoidal forgetful functors.

研究动机与目标

• 为乘子霍普夫代数提供一个范畴解释，尽管其在量子群理论中具有重要地位，但此前一直缺乏此类解释。
• 将乘子双代数定义为非单位元、幂等、$k$-投影代数的张量范畴中的余代数。
• 通过模类与扩张类的张量性以及与$\mathcal{M}_k$的严格张量遗忘函子，建立乘子双代数的刻画。
• 通过乘子结构将经典的霍普夫代数对偶框架推广至非单位元、无限维情形。
• 将模代数与余模代数结构推广至乘子双代数，使其与文献中现有定义保持一致。

提出的方法

• 使用乘子代数构造，定义非退化、幂等、$k$-投影$ k $-代数的张量范畴$\mathcal{N}dI_k$。
• 将乘子双代数刻画为$\mathcal{N}dI_k$中的余代数，从而推广单位元双代数的概念。
• 建立$ k $-代数为乘子双代数的等价条件：其左/右模类与扩张类为张量范畴，且与$\mathcal{M}_k$之间存在严格张量遗忘函子。
• 利用卷积代数结构，将反演算解释为乘子代数中恒等映射的卷积逆。
• 通过在$ k $-模的张量范畴中内化作用与余作用，引入乘子双代数上的模代数与余模代数。
• 证明文献中（如Van Daele的工作）的余作用与单位元条件等价于乘子代数中的等式，从而确保与范畴框架的一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何为乘子霍普夫代数提供类似于经典霍普夫代数的范畴解释？
• RQ2 在非单位元情形下，应如何定义“乘子双代数”这一概念，以推广单位元双代数？
• RQ3 在何种条件下，非单位元代数的左模类、右模类与扩张类成为张量范畴，并通过严格张量遗忘函子与$\mathcal{M}_k$关联？
• RQ4 乘子霍普夫代数中的反演算如何作为乘子代数中恒等映射的卷积逆产生？
• RQ5 如何以与现有定义一致的方式，为乘子双代数定义模代数与余模代数？

主要发现

• 一个非退化、幂等、$k$-投影代数是乘子双代数，当且仅当其左模类、右模类与扩张类为张量范畴，并与$\mathcal{M}_k$构成严格张量遗忘函子图。
• 在非单位元情形下，左模类的张量性与右模类的张量性不等价，凸显了与单位元情形的关键差异。
• 乘子霍普夫代数中的反演算被刻画为在端射影自同态乘子代数中，恒等映射的卷积逆。
• 余作用$\widetilde{\rho}: B \to \mathbb{M}(B \otimes A)$是单位元的，当且仅当对所有$a \in A$，$b \in B$，有$\overline{B \otimes \varepsilon}(\widetilde{\rho}(b)(1 \otimes a)) = \widetilde{\varepsilon}(a)\iota_B(b)$，该条件与Van Daele原始定义中的条件一致。
• 乘子双代数上的模代数与余模代数被定义为$ k $-模张量范畴中的内蕴代数，其作用与余作用满足适当的相容性条件。