[论文解读] Multiplier Tests and Subhomogeneity of Multiplier Algebras

Alexandru Aleman, Michael Hartz+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 3, 2020

Holomorphic and Operator Theory被引用 2

一句话总结

本文研究在何种条件下，可通过有界大小的Pick矩阵测试再生核希尔伯特空间上乘子范数的性质，将其与乘子代数的次同态性联系起来。研究证明，对于许多经典空间（如Dirichlet空间和Drury–Arveson空间），其乘子代数并非次同态，这意味着必须测试任意大的矩阵。一个关键结果建立了加权Dirichlet空间乘子代数到Drury–Arveson空间乘子代数的完全等距嵌入。

ABSTRACT

Multipliers of reproducing kernel Hilbert spaces can be characterized in terms of positivity of $n imes n$ matrices analogous to the classical Pick matrix. We study for which reproducing kernel Hilbert spaces it suffices to consider matrices of bounded size $n$. We connect this problem to the notion of subhomogeneity of non-selfadjoint operator algebras. Our main results show that multiplier algebras of many Hilbert spaces of analytic functions, such as the Dirichlet space and the Drury-Arveson space, are not subhomogeneous, and hence one has to test Pick matrices of arbitrarily large matrix size $n$. To treat the Drury-Arveson space, we show that multiplier algebras of certain weighted Dirichlet spaces on the disc embed completely isometrically into the multiplier algebra of the Drury-Arveson space.

研究动机与目标

• 确定对于哪些再生核希尔伯特空间，仅通过测试大小为n的有界Pick矩阵即可确定乘子范数。
• 将n点乘子范数的有限性与非自伴算子代数的次同态性联系起来。
• 研究经典函数空间（如Dirichlet空间和Drury–Arveson空间）的乘子代数是否为次同态。
• 建立加权Dirichlet空间乘子代数到Drury–Arveson空间乘子代数的完全等距嵌入。

提出的方法

• 利用有限点集{zi}大小为n时，n×n Pick矩阵K(zi,zj)(1−ϕ(zi)ϕ(zj))的正定性来表征乘子。
• 应用Arveson关于边界表示的理论分析乘子代数的次同态性。
• 引入n点乘子范数||ϕ||Mult(H),n，定义为满足K(z,w)(C²−ϕ(z)ϕ(w)*)为n点正定的下确界C。
• 利用正规单位圆不变空间中乘子代数的特征对应于单位球Bd中点的取值这一事实。
• 使用闭图像定理证明有限n点范数蕴含有界性与连续性，进而在解析性假设下推出全纯性。
• 应用嵌入技术证明，对于某些a，Mult(Da(Bd))可完全等距嵌入到Mult(H²_d)中。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在有限的n，使得仅通过测试n×n矩阵的Pick矩阵正定性，即可确定给定再生核希尔伯特空间上所有函数的乘子范数？
• RQ2 Dirichlet空间与Drury–Arveson空间的乘子代数是否为次同态，从而意味着有界大小的Pick矩阵已足够？
• RQ3 单位球上加权Dirichlet空间的乘子代数能否完全等距嵌入到Drury–Arveson空间的乘子代数中？
• RQ4 对于哪些参数a，加权Dirichlet空间Da(Bd)的乘子代数是拓扑次同态的？

主要发现

• Drury–Arveson空间H²_d的乘子代数并非次同态，因此必须测试任意大的n阶矩阵以确定乘子范数。
• Dirichlet空间D的乘子代数并非次同态，意味着不存在有限的n足以用于乘子范数的测试。
• 当0 ≤ a < d时，加权Dirichlet空间Da(Bd)的乘子代数甚至不是拓扑1-次同态，表明其有限n测试存在强烈失败。
• 本文构建了Mult(Da(Bd))到Mult(H²_d)的完全等距嵌入，使得从加权Dirichlet空间到Drury–Arveson空间的结果可被转移。
• 当s < 0时，由核∑(n+1)^s(zw)^n定义的空间Hs的乘子代数Mult(Hs)既非完全等距次同态，实际上在−1 ≤ s < 0时也非拓扑次同态。
• 近期预印本[35]确认，当0 ≤ a < d时，Mult(Da(Bd))并非拓扑次同态，从而解决了问题10.3。