[论文解读] Multipliers and Riesz transforms for the Schr\"odinger operator with inverse-square potential

Rowan Killip, C. Miao+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 9, 2015

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 39被引用 8

一句话总结

该论文为Schrödinger算子$\mathcal{L}_a = -\Delta + a|x|^{-2}$建立了$L^p$-乘子定理，证明了当$a \geq 0$时，对所有$1 < p < \infty$均有有界性，并在$a < 0$时确定了最优的$p$-范围。此外，该研究还刻画了通过$\mathcal{L}_a^{s/2}$与$(-\Delta)^{s/2}$定义的Sobolev空间在$0 < s < 2$时的等价性，并将其应用于Littlewood-Paley理论与Hardy型不等式。

ABSTRACT

We study the $L^p$-theory for the Schr\odinger operator $\mathcal L_a$ with inverse square potential $a|x|^{-2}$. Our first main result is an analogue of the Mikhlin Multiplier Theorem in this setting. When $a\geq 0$, the heat kernel obeys Gaussian bounds and so previous work yields the validity of this theorem for all $1<p<\infty$. When $a<0$, we show that such multipliers are bounded for a smaller range of $p$ and show that our restrictions on $p$ are sharp. Our second main result describes when $L^p$-based Sobolev spaces defined in terms of the operator $(\mathcal L_a)^{s/2}$ agree with those defined via $(-\Delta)^{s/2}$. We consider all regularities $0<s<2$. As offshoots of this analysis, we also discuss Littlewood-Paley theory and Hardy-type inequalities associated to the operator $\mathcal L_a$.

研究动机与目标

• 将Mikhlin乘子定理推广至Schrödinger算子$\mathcal{L}_a = -\Delta + a|x|^{-2}$在$L^p$空间中的情形。
• 确定当势参数$a < 0$时，$\mathcal{L}_a$-乘子在$\mathcal{L}^p$中有界性的$p$范围，并证明这些界限的最优性。
• 刻画在$0 < s < 2$时，通过$\mathcal{L}_a^{s/2}$与$(-\Delta)^{s/2}$定义的Sobolev空间在哪些$p$和$s$下相等。
• 发展Littlewood-Paley理论，并推导与$\mathcal{L}_a$相关的Hardy型不等式。

提出的方法

• 当$a \geq 0$时，应用具有高斯界估计的热核估计，从而扩展经典乘子理论。
• 利用谱理论与函数演算分析算子$\mathcal{L}_a$及其幂$\mathcal{L}_a^{s/2}$。
• 分析算子谱测度的行为及其对负$a$时$\mathcal{L}_a$-乘子在$L^p$中有界性的影响。
• 通过插值与实插值技术比较通过$\mathcal{L}_a^{s/2}$与$(-\Delta)^{s/2}$定义的Sobolev范数。
• 利用谱投影与二进制频率局部化，推导适用于算子$\mathcal{L}_a$的Littlewood-Paley分解。
• 通过分析$\mathcal{L}_a$在原点附近与无穷远处的行为，并利用反平方势的结构，建立Hardy型不等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 当$a < 0$时，$\mathcal{L}_a$的Mikhlin型乘子定理在哪些$p$下成立？
• RQ2 当$a < 0$时，$\mathcal{L}_a$-乘子在$L^p$中有界的最优$p$范围是什么？
• RQ3 对于哪些$s \in (0,2)$，由$\mathcal{L}_a^{s/2}$与$(-\Delta)^{s/2}$定义的Sobolev空间$W^{s,p}_{\mathcal{L}_a}$与$W^{s,p}_{-\Delta}$相等？
• RQ4 反平方势如何影响Littlewood-Paley分解及其相关平方函数？
• RQ5 $\mathcal{L}_a$的谱性质暗示了哪些Hardy型不等式？

主要发现

• 当$a \geq 0$时，由于具有高斯热核界，Mikhlin乘子定理对所有$1 < p < \infty$成立。
• 当$a < 0$时，乘子定理仅在受限的$p$范围内成立，且通过反例或极限行为证明了该范围的最优性。
• 当$|a|$足够小时，通过$\mathcal{L}_a^{s/2}$与$(-\Delta)^{s/2}$定义的Sobolev空间在$0 < s < 2$时等价，但等价性依赖于$a$的大小。
• 发展了$\mathcal{L}_a$的Littlewood-Paley理论，其平方函数在适当的$a$与$p$条件下与$L^p$范数等价。
• 推导出反映反平方势影响的Hardy型不等式，其最优常数依赖于$a$。
• 通过证明乘子算子在该范围外不有界，确立了$a < 0$时$p$-范围的最优性。