[论文解读] Multiply twisted products

Yong Wang|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2012

Point processes and geometric inequalities参考文献 20被引用 6

一句话总结

本文引入了具有半对称度量联络的多重扭曲积流形，计算了其曲率与指标形式，并证明了在该联络下，混合里奇平坦的多重扭曲积流形等价于多重截锥积流形。此外，本文还发现了爱因斯坦流形与常数量曲率仿射流形的新例子，涵盖广义罗伯逊-沃尔克和卡斯纳时空，并推导了多重扭曲芬斯勒流形的几何性质。

ABSTRACT

In this paper, we compute the index form of the multiply twisted products. We study the Killing vector fields on the multiply twisted product manifolds and determine the Killing vector fields in some cases. We compute the curvature of the multiply twisted products with a semi-symmetric metric connection and show that the mixed Ricci-flat multiply twisted products with a semi-symmetric metric connection can be expressed as multiply warped products. We also study the Einstein multiply warped products with a semi-symmetric metric connection and the multiply warped products with a semi-symmetric metric connection with constant scalar curvature, we apply our results to generalized Robertson-Walker spacetimes with a semi-symmetric metric connection and generalized Kasner spacetimes with a semi-symmetric metric connection and find some new examples of Einstein affine manifolds and affine manifolds with constant scalar curvature. We also consider the multiply twisted product Finsler manifolds and we get some interesting properties of these spaces.

研究动机与目标

• 计算具有半对称度量联络的多重扭曲积流形的指标形式。
• 刻画多重扭曲积流形上的基灵向量场，特别是紧致基流形的情形。
• 在半对称度量联络下，确定多重扭曲积流形的曲率张量与里奇张量。
• 识别混合里奇平坦或爱因斯坦结构出现的条件，并将其与截锥积结构关联。
• 将结果推广至多重扭曲芬斯勒流形，并在此设定下推导几何性质。

提出的方法

• 通过克里斯托费尔符号与黎曼曲率分量，推导具有半对称度量联络的多重扭曲积流形的曲率张量。
• 通过分析测地线能量的二阶变分，计算多重扭曲积流形的指标形式。
• 应用基灵向量场的偏微分方程组系统，以确定其在多重扭曲流形上的结构。
• 利用混合里奇平坦性蕴含在半对称度量联络下等价于多重截锥积流形的条件。
• 将结果应用于广义罗伯逊-沃尔克和卡斯纳时空，以构造新的爱因斯坦与常数量曲率仿射流形例子。
• 分析切丛的水平与竖直分布，通过 $F_{ab}^c$ 与 $R_{ab}^c$ 的条件，确定其为全测地的条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有半对称度量联络的多重扭曲积流形在混合方向上为里奇平坦？
• RQ2 在半对称度量联络下，混合里奇平坦的多重扭曲积流形是否可表示为多重截锥积流形？
• RQ3 多重扭曲积流形上存在非平凡基灵向量场的充要条件是什么？
• RQ4 在半对称度量联络下，多重扭曲积流形的曲率与数量曲率如何表现？
• RQ5 从具有半对称度量联络的广义罗伯逊-沃尔克与卡斯纳时空出发，可构造出哪些新的爱因斯坦或常数量曲率仿射流形例子？

主要发现

• 在半对称度量联络下，混合里奇平坦的多重扭曲积流形必然等价于多重截锥积流形，推广了 [FGKU] 中的结果。
• 明确计算了多重扭曲积流形的指标形式，使得在此类流形上可进行变分分析。
• 在基流形为紧致的情况下，确定了多重扭曲积流形上非平凡基灵向量场的存在。
• 在半对称度量联络下，推导出多重扭曲积流形的曲率张量，其表达式基于黎曼曲率分量与联络系数。
• 利用半对称度量联络，从广义罗伯逊-沃尔克与卡斯纳时空构造了新的爱因斯坦仿射流形与常数量曲率仿射流形的例子。
• 证明了切丛的水平与竖直丛为全测地的充分必要条件是特定的曲率与联络条件成立，即 $F_{ab}^c = G_{ab}^c$ 与 $R_{ab}^c = 0$。