[论文解读] Multiscale Convergence of the Inverse Problem for Chemotaxis in the Bayesian Setting

Kathrin Hellmuth|arXiv (Cornell University)|Nov 11, 2021

Mathematical Biology Tumor Growth参考文献 34被引用 5

一句话总结

该论文建立了在抛物（流体动力学）极限下，趋化性动力学方程与Keller-Segel模型的贝叶斯反问题之间的渐近等价性。通过多尺度渐近分析，证明了当Knudsen数趋于零时，动力学模型中的翻滚核后验分布与Keller-Segel模型中的趋化性系数后验分布，在Kullback-Leibler散度与Hellinger散度下均收敛，从而验证了在反问题中可将宏观模型用作计算效率更高的中观模型的替代模型。

ABSTRACT

Chemotaxis describes the movement of an organism, such as single or multi-cellular organisms and bacteria, in response to a chemical stimulus. Two widely used models to describe the phenomenon are the celebrated Keller–Segel equation and a chemotaxis kinetic equation. These two equations describe the organism’s movement at the macro- and mesoscopic level, respectively, and are asymptotically equivalent in the parabolic regime. The way in which the organism responds to a chemical stimulus is embedded in the diffusion/advection coefficients of the Keller–Segel equation or the turning kernel of the chemotaxis kinetic equation. Experiments are conducted to measure the time dynamics of the organisms’ population level movement when reacting to certain stimulation. From this, one infers the chemotaxis response, which constitutes an inverse problem. In this paper, we discuss the relation between both the macro- and mesoscopic inverse problems, each of which is associated with two different forward models. The discussion is presented in the Bayesian framework, where the posterior distribution of the turning kernel of the organism population is sought. We prove the asymptotic equivalence of the two posterior distributions.

研究动机与目标

• 建立趋化性建模中微观（动力学）与宏观（Keller-Segel）层次反问题之间的严格联系。
• 研究在抛物标度极限下，由两种不同正向模型（动力学对比Keller-Segel）推导出的后验分布是否渐近等价。
• 为在动力学模型模拟过于昂贵时，使用计算成本更低的Keller-Segel模型作为反问题中的替代模型，提供理论依据。
• 在具有高斯噪声和合适先验的贝叶斯框架下，确保后验分布的适定性与收敛性。
• 利用信息论距离（Kullback-Leibler与Hellinger）量化两种后验测度的收敛性。

提出的方法

• 在贝叶斯框架下构建反问题，将翻滚核（动力学模型）与趋化性系数（Keller-Segel模型）视为具有先验分布的随机变量。
• 应用多尺度渐近分析，证明在抛物极限（小Knudsen数）下，动力学方程收敛于Keller-Segel方程。
• 采用Chalub等人（2004）提出的抛物标度，推导动力学模型的宏观极限，确保正向模型之间的一致性。
• 基于对宏观密度的带噪声测量，定义似然函数，假设为加性高斯噪声。
• 计算两个后验分布之间的Kullback-Leibler散度，并证明当Knudsen数趋于零时其极限趋于零。
• 通过已知的Hellinger距离对Kullback-Leibler散度的有界性，建立Hellinger度量下的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当Knudsen数趋于零时，动力学模型与Keller-Segel模型中趋化性响应参数的后验分布是否渐近等价？
• RQ2 在贝叶斯反问题中，是否可将宏观的Keller-Segel模型用作计算高效的中观动力学模型的替代模型？
• RQ3 两种模型后验分布的收敛速率如何？其收敛性可如何量化？
• RQ4 在何种先验与测量噪声条件下，两种模型的后验分布均适定且收敛？
• RQ5 在流体动力学极限下，两个后验分布之间的Kullback-Leibler与Hellinger距离行为如何？

主要发现

• 当Knudsen数ε → 0时，由动力学趋化模型与Keller-Segel模型推导出的后验分布，在Kullback-Leibler散度下收敛。
• 在适当的先验与测量函数假设下，后验分布的收敛性在翻滚核参数空间（K₀, K₁）上是一致的。
• 两个后验分布之间的Hellinger距离在极限下也趋于零，证实了在更强度量下具有渐近等价性。
• 在抛物区段中，正向模型渐近等价，即在适当标度下，动力学方程收敛于Keller-Segel方程。
• 两种模型的似然函数在参数空间的紧集上一致收敛，从而保证了后验收敛性。
• 理论结果支持在迭代反演求解器中，将宏观的Keller-Segel模型用作更昂贵的动力学模型的快速、可靠初始猜测。