[论文解读] Multiscale homogenization of convex functionals with discontinuous integrand

Marco Barchiesi|ArXiv.org|Jun 20, 2005

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 20被引用 21

一句话总结

该论文在弱正则性假设下，利用多尺度Young测度，建立了具有不连续积分函数的多尺度凸泛函的 $γ$-极限。证明了对于可接受的积分函数——在紧子集上连续且补集测度较小的函数——$γ$-收敛性成立，从而实现了具有复杂微观结构（包括不连续界面）复合材料的均质化。

ABSTRACT

This article is devoted to obtain the $Γ$-limit, as $ε$ tends to zero, of the family of functionals $$F_ε(u)=\int_Ωf\Bigl(x,\frac{x}ε,..., \frac{x}{ε^n}, abla u(x)\Bigr)dx$$, where $f=f(x,y^1,...,y^n,z)$ is periodic in $y^1,...,y^n$, convex in $z$ and satisfies a very weak regularity assumption with respect to $x,y^1,...,y^n$. We approach the problem using the multiscale Young measures.

研究动机与目标

• 表征当尺度参数 $\varepsilon \to 0$ 时，具有不连续积分函数的多尺度凸泛函的 $γ$-极限。
• 弱化对积分函数 $f$ 的正则性假设，允许在材料界面处出现不连续性。
• 为具有多尺度和非光滑微观结构的复合材料建立均质化框架。
• 引入“可接受积分函数”的概念，作为确保 $γ$-收敛性的最小正则性条件。
• 将迭代均质化公式推广至具有不连续或弱正则积分函数的情形。

提出的方法

• 利用多尺度Young测度捕捉在多个尺度 $y^1, \ldots, y^n$ 上的振荡。
• 应用 $γ$-收敛性理论，在凸性和 $p$-强制性条件下推导均质化泛函。
• 引入“可接受积分函数”作为在 $x$ 和 $y$ 变量中于紧集上连续且补集测度较小的函数。
• 采用交换性论证，以证明跨尺度的迭代均质化过程的合理性。
• 证明均质化泛函 $f_{\text{hom}}$ 等于在连续尺度上逐次进行的下确界卷积。
• 依赖Young测度的下极限连续性和紧致性性质，以确保收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在最小正则性假设下，是否可以为具有不连续积分函数的多尺度凸泛函建立 $γ$-收敛性？
• RQ2 当 $f$ 不处处连续时，$γ$-收敛性成立的精确积分函数类是什么？
• RQ3 迭代均质化公式如何推广至非光滑或不连续的积分函数？
• RQ4 在弱正则性条件下，均质化泛函是否可表示为多尺度上的下确界卷积？
• RQ5 当 $f$ 仅为Borel可测时，'可接受积分函数'条件在确保收敛性中起什么作用？

主要发现

• 在可接受积分函数条件下，泛函 $F_\varepsilon(u) = \int_\Omega f(x, \frac{x}{\varepsilon}, \ldots, \frac{x}{\varepsilon^n}, \nabla u(x)) \, dx$ 在 $\varepsilon \to 0$ 时的 $γ$-极限存在。
• 均质化泛函 $f_{\text{hom}}(x,z)$ 由 $n$ 个尺度上的迭代下确界卷积给出，保持凸性和 $p$-强制性。
• 可接受积分函数条件是紧致的：若无此条件，$γ$-收敛性可能不成立，反例显示Borel但不连续的积分函数会导致失败。
• 均质化泛函满足 $f_{\text{hom}} \leq f_{\text{hom}}^{[1]}$，且在所提框架下等式成立。
• 只要 $f$ 在紧集上连续且补集测度较小，即使 $f$ 在 $x$ 或 $y^k$ 上不连续，迭代均质化公式依然有效。
• 该方法适用于单尺度和多尺度复合材料，包括具有特征函数型不连续性的双组分混合物。