[论文解读] Multiscale Jump Testing and Estimation Under Complex Temporal Dynamics

Weichi Wu, Zhou Zhou|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2019

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 78被引用 7

一句话总结

该论文提出了一种多尺度跳跃检测与估计方法，适用于具有复杂时间动态特性的非平稳时间序列，其中趋势和协方差结构均经历平滑与突变变化。通过在密集尺度范围内应用最优跳跃通滤波器，该方法在温和条件下实现了所有跳跃点的渐近完全检测——即使跳跃数量发散且跳跃幅度缩小——计算复杂度为 $O(nackslash\log^{1+\epsilon}n)$。

ABSTRACT

We consider the problem of detecting jumps in an otherwise smoothly evolving trend whilst the covariance and higher-order structures of the system can experience both smooth and abrupt changes over time. The number of jump points is allowed to diverge to infinity with the jump sizes possibly shrinking to zero. The method is based on a multiscale application of an optimal jump-pass filter to the time series, where the scales are dense between admissible lower and upper bounds. For a wide class of non-stationary time series models and trend functions, the proposed method is shown to be able to detect all jump points within a nearly optimal range with a prescribed probability asymptotically under mild conditions. For a time series of length $n$, the computational complexity of the proposed method is $O(n)$ for each scale and $O(n\log^{1+ε} n)$ overall, where $ε$ is an arbitrarily small positive constant. Numerical studies show that the proposed jump testing and estimation method performs robustly and accurately under complex temporal dynamics.

研究动机与目标

• 在时间序列趋势中检测并估计跳跃点，当趋势和协方差结构随时间经历平滑与突变变化时。
• 在温和正则性条件下处理发散数量的跳跃，即使跳跃幅度趋近于零。
• 开发一种计算高效的算法，具备可证明的渐近一致性，以检测所有跳跃点。
• 通过在密集尺度上多尺度应用最优跳跃通滤波器，实现最优估计精度。

提出的方法

• 该方法基于对时间序列 $y_{i,n}$ 多尺度应用最优跳跃通滤波器 $W(x)$，其中滤波器被设计为对跳跃点响应强烈，而对平滑区域响应微弱。
• 在下限与上限之间的密集范围内，于多个尺度 $s$ 上应用该滤波器，并通过归一化以稳定各尺度上的检测性能。
• 检测统计量通过在每个时间点和尺度上对滤波器进行归一化应用构建，从而实现对跳跃候选点的鲁棒识别。
• 该方法利用局部 CUSUM 类似程序，增强对微小跳跃的敏感性，同时有效控制假阳性率。
• 理论分析表明，该方法可在几乎最优范围内以指定的渐近概率检测到所有跳跃点。
• 通过算法优化实现计算效率，每尺度复杂度为 $O(n)$，总体复杂度为 $O(n\backslash\log^{1+\epsilon}n)$，其中 $\epsilon > 0$ 为任意小的正数。

实验结果

研究问题

• RQ1 当趋势和协方差结构均随时间经历平滑与突变变化时，多尺度滤波方法能否检测到非平稳时间序列中的所有跳跃点？
• RQ2 在何种最小条件下，该方法可一致检测到发散数量的跳跃，即使跳跃幅度趋近于零？
• RQ3 在复杂时间动态条件下，该方法与现有跳跃检测技术相比性能如何？
• RQ4 该方法的计算复杂度是多少？能否高效扩展至大规模时间序列？

主要发现

• 在时间序列和误差结构的温和正则性条件下，该方法可在几乎最优范围内实现对所有跳跃点的渐近完全检测。
• 跳跃数量 $m_n$ 允许发散至无穷大，即使单个跳跃幅度趋近于零，也不会影响检测精度。
• 所提方法对任意任意小的 $\epsilon > 0$，计算复杂度为 $O(n\backslash\log^{1+\epsilon}n)$，使其适用于大规模 $n$ 的时间序列。
• 数值研究证实，该方法在复杂时间动态条件下具有鲁棒性和高精度，能够有效检测协方差和高阶矩的平滑与突变变化。
• 使用最优跳跃通滤波器可确保对跳跃的高敏感性，同时在多样化时间模式下最小化假阳性。