[论文解读] Multiscale model reduction method for Bayesian inverse problems of subsurface flow

Lijian Jiang, Na Ou|arXiv (Cornell University)|Apr 1, 2016

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 22被引用 4

一句话总结

该论文提出了一种多尺度模型降阶框架，结合广义多尺度有限元方法（GMsFEM）与最小二乘随机配置法（LS-SCM），以加速地下水流中的贝叶斯反问题。通过离线构建降阶前向模型，并利用截断的Karhunen-Loève展开（KLE）实现降维，该方法实现了高效的马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）采样，在通量重构中实现了5.68%的相对L₂误差，且后验分布收敛迅速。

ABSTRACT

This work presents a model reduction approach to the inverse problem in the application of subsurface flows. For the Bayesian inverse problem, the forward model needs to be repeatedly computed for a large number of samples to get a stationary chain. This requires large computational efforts. To significantly improve the computation efficiency, we use generalized multiscale finite element method and least-squares stochastic collocation method to construct a reduced computational model. To avoid the difficulty of choosing regularization parameter, hyperparameters are introduced to build a hierarchical model. We use truncated Karhunen-Loeve expansion (KLE) to reduce the dimension of the parameter spaces and decrease the mixed time of Markov chains. The techniques of hyperparameter and KLE are incorporated into the model reduction method. The reduced model is constructed offline. Then it is computed very efficiently in the online sampling stage. This strategy can significantly accelerate the evaluation of the Markov chain and the resultant posterior distribution converges fast. We analyze the convergence for the approximation between the posterior distribution by the reduced model and the reference posterior distribution by the full-order model. A few numerical examples in subsurface flows are carried out to demonstrate the performance of the presented model reduction method with application of the Bayesian inverse problem.

研究动机与目标

• 为解决由于重复前向模型求解导致的地下水流中贝叶斯反问题计算成本过高的问题。
• 降低由边界条件和源位置等不确定输入引起的高维参数空间的维度。
• 构建一个高效且精确的降阶模型，以近似全阶前向模型，用于MCMC采样。
• 通过采用具有超参数的分层贝叶斯模型，避免正则化参数的选择。
• 展示该降阶模型在计算开销极小的情况下，准确近似参考后验分布的有效性。

提出的方法

• 使用广义多尺度有限元方法（GMsFEM）构建多尺度基函数，以在粗网格上捕捉细尺度非均质性，从而高效求解前向模型。
• 应用最小二乘随机配置法（LS-SCM）在先验支持上构建前向映射的代理模型，降低在线评估成本。
• 采用截断的Karhunen-Loève展开（KLE）将随机通量场表示为仅74个主分量，将参数维度从220降低至74。
• 采用具有超参数的分层贝叶斯模型，消除反问题中手动选择正则化参数的需求。
• 离线使用GMsFEM和LS-SCM构建降阶模型，随后在在线MCMC采样阶段高效使用。
• 马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）算法采用随机游走Metropolis-Hastings方案，并对超参数和潜变量进行自适应更新。

实验结果

研究问题

• RQ1 基于GMsFEM和LS-SCM的降阶模型是否能准确近似地下水流贝叶斯反问题中的全阶前向模型？
• RQ2 截断KLE与模型降阶的结合在加速高维反问题的MCMC采样方面效果如何？
• RQ3 所提方法是否能获得与全阶模型参考后验分布高度近似的后验分布？
• RQ4 分层贝叶斯框架是否能消除反问题中手动调节正则化参数的需求？
• RQ5 该降阶模型在存在稀疏且噪声观测的情况下，能否同时准确恢复边界通量与源位置？

主要发现

• 使用降阶模型进行通量重构的相对L₂误差约为5.68%，表明在恢复真实通量场方面具有高精度。
• 基于降阶模型计算的后验分布收敛迅速，且与全阶模型的参考后验分布高度一致。
• 采用截断KLE将参数维度从220降低至74，显著加速了MCMC采样，减少了马尔可夫链的混合时间。
• 后验密度的支持比先验更窄，表明数据信息有效减少了估计参数的不确定性。
• 即使在观测稀疏且含噪声的情况下，该方法仍能成功同时恢复边界通量与源位置。
• 数学分析证实了在贝叶斯反问题背景下，降阶模型近似收敛于全阶模型。