[论文解读] Multiscale space-time ansatz for correlation functions of quantum systems based on quantics tensor trains

Hiroshi Shinaoka, Markus Wallerberger+5 more|arXiv (Cornell University)|Oct 24, 2022

Computational Physics and Python Applications被引用 5

一句话总结

本文提出了一种基于量化张量链（QTT）的多尺度时空假设，用于量子关联函数，实现了对高维量子系统的高效表示与计算。通过在多个长度和时间尺度上对关联函数进行张量链分解，该方法实现了数量级的压缩，并能够在平衡与非平衡设置下稳定、高效地求解Dyson方程和Bethe-Salpeter方程。

ABSTRACT

Correlation functions of quantum systems -- central objects in quantum field theories -- are defined in high-dimensional space-time domains. Their numerical treatment thus suffers from the curse of dimensionality, which hinders the application of sophisticated many-body theories to interesting problems. Here, we propose a multi-scale space-time ansatz for correlation functions of quantum systems based on quantics tensor trains (QTT), ``qubits'' describing exponentially different length scales. The ansatz then assumes a separation of length scales by decomposing the resulting high-dimensional tensors into tensor trains (known also as matrix product states). We numerically verify the ansatz for various equilibrium and nonequilibrium systems and demonstrate compression rates of several orders of magnitude for challenging cases. Essential building blocks of diagrammatic equations, such as convolutions or Fourier transforms are formulated in the compressed form. We numerically demonstrate the stability and efficiency of the proposed methods for the Dyson and Bethe-Salpeter equations. {The QTT representation} provides a unified framework for implementing efficient computations of quantum field theories.

研究动机与目标

• 解决在空间和时间上计算量子关联函数时面临的维度灾难问题。
• 利用张量网络方法，为强关联量子系统开发统一的计算框架。
• 在压缩的张量格式中实现对图解方程（如卷积和傅里叶变换）的高效数值处理。
• 证明该方法在平衡与非平衡量子多体系统中的稳定性和可扩展性。
• 在保持精度的前提下，显著压缩高维关联函数。

提出的方法

• 该方法采用量化张量链（QTT）在多个长度和时间尺度上表示关联函数，利用其分层低秩结构。
• 将关联函数表述为张量链分解，从而在空间和时间尺度上实现分离。
• 关键操作如卷积和傅里叶变换被重新表达为QTT压缩格式，以保持计算效率。
• 该方法被应用于求解实时间与虚时间域中的Dyson方程和Bethe-Salpeter方程。
• QTT表示支持跨尺度的自适应精炼，从而在关键区域提升精度。
• 数值实现利用张量链算法与低秩截断，以控制计算成本。

实验结果

研究问题

• RQ1 多尺度张量网络假设能否有效压缩高维量子关联函数？
• RQ2 基于QTT的表示在实现空间-时间关联函数显著压缩的同时，如何保持精度？
• RQ3 在压缩的QTT格式中，图解运算（如卷积和傅里叶变换）能在多大程度上实现高效计算？
• RQ4 该方法在平衡与非平衡量子多体系统中是否具备稳定性和可扩展性？
• RQ5 对于具有挑战性的关联函数，QTT假设是否在内存和计算效率方面优于传统方法？

主要发现

• 基于QTT的假设对具有挑战性的量子关联函数实现了数个数量级的压缩率。
• 该方法在实时间与虚时间中均能稳定且高效地求解Dyson方程，且数值误差可控。
• 利用压缩的QTT表示成功求解了Bethe-Salpeter方程，证明了其在非平衡设置下的鲁棒性。
• 傅里叶变换与卷积在QTT格式中被准确且高效地实现，同时保持了多尺度结构。
• 该方法为在计算成本降低的前提下，统一计算多种量子场论中的关联函数提供了框架。
• 数值结果证实了该方法在基准系统（包括强关联电子模型）上的可扩展性与精度。