[论文解读] Multiscale Strategies for Computing Optimal Transport

Samuel Gerber, Mauro Maggioni|arXiv (Cornell University)|Aug 8, 2017

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 36被引用 13

一句话总结

本文提出了一种多尺度框架，可高效计算高维点云之间最优传输计划，这些点云在本质上是低维的。通过分层分解点集并从最粗到最细的尺度顺序求解传输问题，该方法在时间和内存上实现了近似线性缩放，将计算成本降低了数个数量级，同时在目标函数上的相对误差保持在1%以下。

ABSTRACT

This paper presents a multiscale approach to efficiently compute approximate optimal transport plans between point sets. It is particularly well-suited for point sets that are in high-dimensions, but are close to being intrinsically low-dimensional. The approach is based on an adaptive multiscale decomposition of the point sets. The multiscale decomposition yields a sequence of optimal transport problems, that are solved in a top-to-bottom fashion from the coarsest to the finest scale. We provide numerical evidence that this multiscale approach scales approximately linearly, in time and memory, in the number of nodes, instead of quadratically or worse for a direct solution. Empirically, the multiscale approach results in less than one percent relative error in the objective function. Furthermore, the multiscale plans constructed are of interest by themselves as they may be used to introduce novel features and notions of distances between point sets. An analysis of sets of brain MRI based on optimal transport distances illustrates the effectiveness of the proposed method on a real world data set. The application demonstrates that multiscale optimal transport distances have the potential to improve on state-of-the-art metrics currently used in computational anatomy.

研究动机与目标

• 解决高维点云中最优传输计算不可行的问题。
• 为具有本质低维结构的大规模数据集实现可扩展的最优传输计算。
• 开发一种灵活且自适应的框架，支持速度、内存和精度之间的权衡。
• 展示多尺度传输计划作为真实世界数据（如脑部MRI）中新型几何特征的实用性。
• 通过基于传输的距离改进计算解剖学中的最先进度量。

提出的方法

• 该方法采用自适应的多尺度分解，将源点集和目标点集分解为分辨率逐渐提高的分层级别。
• 最优传输问题以自顶向下的方式顺序求解，从最粗尺度开始，并在更细的尺度上细化解。
• 采用容量传播策略在每个尺度上初始化和细化解，从而提高收敛速度并减少计算负载。
• 该框架支持多种细化策略，其中一些可保证收敛到全局最优解。
• 该方法兼容任何线性规划求解器，并可扩展至线性分配问题。
• 通过使用不依赖显式几何邻域的代价矩阵，该方法可适应非几何问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 多尺度分解能否显著降低高维点云中最优传输的计算成本？
• RQ2 所提出的框架在点数增加时是否能保持高精度并实现线性缩放？
• RQ3 多尺度传输计划能否作为真实世界数据分析（如神经影像）中的信息性特征？
• RQ4 多尺度传输距离与现有度量相比，在捕捉脑部MRI数据临床变异方面表现如何？
• RQ5 分层分解在多尺度上揭示有意义结构信息的程度如何？

主要发现

• 多尺度方法在时间和内存复杂度上均实现了近似线性缩放，将计算负担从二次方或更差降低至与点数成线性关系。
• 与精确解相比，该方法生成的传输计划在目标函数上的相对误差小于1%。
• 在OASIS脑部MRI数据集上，多尺度传输模型在临床痴呆评分（CDR）预测中的决定系数（R²）几乎翻倍，优于单尺度方法。
• 多尺度传输模型在预测临床变量方面优于单尺度传输方法，并与最先进LDDMM基度量相当或更优。
• 该框架实现了在大规模脑部MRI点云（约40,000个点）上高效计算成对最优传输距离，全成对距离计算在标准硬件上耗时约2周。
• 容量传播策略具有鲁棒性，不依赖于几何邻域假设，因此可适用于非几何问题。