[论文解读] Multiset Ordering Constraints

Alan M. Frisch, Ian Miguel+3 more|ArXiv.org|May 22, 2009

Constraint Satisfaction and Optimization参考文献 11被引用 23

一句话总结

本文提出了一种新的全局约束——多重集排序（multiset ordering），该约束强制要求两个变量向量的取值多重集之间满足有序关系。论文提出了一种线性时间算法用于广义弧一致性（GAC）的强制执行，展示了在矩阵对称性和体育赛程安排等约束满足问题中，相较于字典序（lex-ordering）和GCC约束等替代方案，具有更优的效率和对称性破缺能力。

ABSTRACT

We identify a new and important global (or non-binary) constraint. This constraint ensures that the values taken by two vectors of variables, when viewed as multisets, are ordered. This constraint is useful for a number of different applications including breaking symmetry and fuzzy constraint satisfaction. We propose and implement an efficient linear time algorithm for enforcing generalised arc consistency on such a multiset ordering constraint. Experimental results on several problem domains show considerable promise.

研究动机与目标

• 识别并形式化一种新的全局约束——多重集排序，以确保变量取值的多重集有序。
• 开发一种高效、线性时间的算法，用于在多重集排序约束上强制执行广义弧一致性（GAC）。
• 展示该约束在矩阵模型和模糊约束满足问题中破缺对称性的有效性。
• 与现有技术（如字典序和GCC约束）相比，从对称性减少和计算效率两个方面评估多重集排序的表现。

提出的方法

• 通过递归比较定义多重集排序：若M为空而N非空，或M的最大值小于N的最大值，或二者最大值相同且移除一个最大值后剩余部分满足该顺序，则称M ≺ₘ N。
• 将多重集排序约束形式化为x ≤ₘ y，其中x和y为变量向量，当它们的取值多重集满足上述顺序关系时，该约束成立。
• 提出一种线性时间算法，通过高效传播边界和域限制，利用出现次数向量来强制执行多重集排序约束的GAC。
• 使用按降序索引的出现次数向量来比较多重集，必要时通过前导零填充以对齐数值。
• 在ILOG Solver中实现GAC算法，并在包括渐进式派对问题和体育赛程安排在内的基准问题上进行评估。
• 以失败次数、选择点数和运行时间作为度量，与GCC约束和字典序等替代方法进行性能比较。

实验结果

研究问题

• RQ1 多重集排序约束是否能有效破缺矩阵模型中的对称性，其中行和列的置换不可区分？
• RQ2 在约束满足问题中，多重集排序与字典序相比，在对称性减少和搜索空间剪枝方面表现如何？
• RQ3 与将约束分解为算术约束或GCC等全局约束相比，为多重集排序约束设计专用的GAC算法是否更具效率？
• RQ4 在结合不同搜索策略时，多重集排序是否比字典序破缺更多对称性？
• RQ5 在具有固有对称性的问题（如体育赛程安排）中，多重集排序是否能带来更小的搜索树和更短的求解时间，优于传统对称性破缺方法？

主要发现

• 多重集排序约束显著减少了搜索树规模：在6-13-29渐进式派对问题中，≤ₘ C将失败次数从20,722减少到7,053，运行时间从12.3秒降至4.6秒。
• 在渐进式派对问题中，列方向的多重集排序（≤ₘ C）实现了最小的搜索树和最短求解时间，优于所有字典序变体。
• 在n=9的体育赛程安排问题中，多重集排序（≤ₘ C）将失败次数从超过260万次减少到760,973次，运行时间从857.2秒降至130.5秒，展现出强大的可扩展性。
• 在某些配置中（如按列标注），多重集排序比字典序更有效；而在其他情况下，字典序表现更优——这证实了两种方法具有不可比性且互为补充。
• 所提出的多重集排序约束的线性时间GAC算法，在效率和对称性破缺能力方面，均优于将其分解为GCC和算术约束的方案。
• ≤ₘ C与<ₗₑₓ R的组合实现了最小的搜索树和最短求解时间，支持了如下猜想：在不同维度上同时使用多重集排序和字典序，可比单独使用任一方法破缺更多对称性。