[论文解读] Multishifts on Directed Cartesian Product of Rooted Directed Trees

Sameer Chavan, Deepak Kumar Pradhan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 13, 2016

Holomorphic and Operator Theory参考文献 3被引用 5

一句话总结

本文在局部有限的根有向树的有向笛卡尔积上引入了一类球面对称的多移位算子，推广了联合等距算子，并提供了经典 $d$-移位（Szeg€o、Bergman、Drury-Arveson）的树论类比。本文建立了这些多移位算子与 reproducing kernel Hilbert space 上 $E$-值全纯函数乘法元组之间的酉等价性，通过伴随移位积的逆幂显式构造了核函数，将解析模型理论扩展至非交换树移位。

ABSTRACT

We systematically develop the multivariable counterpart of the theory of weighted shifts on rooted directed trees. Capitalizing on the theory of product of directed graphs, we introduce and study the notion of multishifts on directed Cartesian product of rooted directed trees. This framework unifies the theory of weighted shifts on rooted directed trees and that of classical unilateral multishifts. Moreover, this setup brings into picture some new phenomena such as the appearance of system of linear equations in the eigenvalue problem for the adjoint of a multishift. In the first half of the paper, we focus our attention mostly on the multivariable spectral theory and function theory including finer analysis of various joint spectra and wandering subspace property for multishifts. In the second half, we separate out two special classes of multishifts, which we refer to as torally balanced and spherically balanced multishifts. The classification of these two classes is closely related to toral and spherical polar decompositions of multishifts. Furthermore, we exhibit a family of spherically balanced multishifts on $d$-fold directed Cartesian product $\mathscr T$ of rooted directed trees. These multishifts turn out be multiplication $d$-tuples $\mathscr M_{z, a}$ on certain reproducing kernel Hilbert spaces $\mathscr H_a$ of vector-valued holomorphic functions defined on the unit ball $\mathbb B^d$ in $\mathbb C^d$, which can be thought of as tree analogs of the multiplication $d$-tuples acting on the reproducing kernel Hilbert spaces associated with the kernels $\frac{1}{(1-\langle{z},{{w} angle})^a}~(z, w \in \mathbb B^d, a \in \mathbb N).$

研究动机与目标

• 在局部有限的根有向树的有向笛卡尔积上构造一类新的球面对称多移位算子。
• 在树论框架下推广联合等距算子和已知的 $d$-移位（Szeg€o、Bergman、Drury-Arveson）。
• 建立此类多移位算子与 reproducing kernel Hilbert space 上 $E$-值全纯函数乘法元组之间的酉等价性。
• 当伴随元组的联合核 $E$ 为有限维时，为这些多移位算子提供一个解析模型。

提出的方法

• 通过依赖于深度 $|\alpha_v|$、父子关系以及由参数 $a$ 导出的序列 $\{c_{a,t}\}$ 的权重 $\lambda_w^{(i)}$ 定义一个多移位算子 $S_{\boldsymbol{\lambda}_{\mathfrak{C}_a}}$。
• 通过验证当 $i \neq j$ 时，乘积 $\lambda_u^{(i)}\lambda_{\text{par}_i(u)}^{(j)}$ 等于 $\lambda_u^{(j)}\lambda_{\text{par}_j(u)}^{(i)}$，利用树结构的对称性，证明该多移位算子是可交换的。
• 证明 $\sum_{j=1}^d \|S_j e_v\|^2 = c_{|\alpha_v|}$，从而证明其球面对称性，其中 $\mathfrak{C}(v) = c_{|\alpha_v|}$。
• 建立唯一分解 $l^2(V) = \bigoplus_{\alpha \in \mathbb{N}^d} S^{\alpha}_{\boldsymbol{\lambda}} E$，从而构造出 $E$-值形式幂级数的希尔伯特空间。
• 通过 $\|S^{\alpha}_{\boldsymbol{\lambda}} f_\alpha\|^2$ 定义空间 $\mathscr{H}_{a,d}$ 上的内积，利用 $S^{*\alpha} S^\alpha$ 在 $E$ 上有下界，确保完备性。
• 构造一个酉映射 $U: l^2(V) \to \mathscr{H}_{a,d}$，使得 $U S_j = \mathscr{M}_{z_j} U$，从而证明其与乘法元组 $\mathscr{M}_{z,a}$ 的酉等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在根有向树的有向笛卡尔积上构造出超越联合等距算子的球面对称多移位算子？
• RQ2 权重 $\lambda_w^{(i)}$ 如何依赖于深度和分支结构，以确保球面对称性？
• RQ3 在何种条件下，球面对称多移位算子与 reproducing kernel Hilbert space 上的乘法元组酉等价？
• RQ4 能否通过联合核 $E$ 将经典 $d$-移位的解析模型扩展至非交换树基算子？
• RQ5 与 $S_{\boldsymbol{\lambda}_{\mathfrak{C}_a}}$ 相关的希尔伯特空间 $\mathscr{H}_{a,d}$ 的 reproducing kernel 的显式形式是什么？

主要发现

• 多移位算子 $S_{\boldsymbol{\lambda}_{\mathfrak{C}_a}}$ 是球面对称的，且满足 $\sum_{j=1}^d \|S_j e_v\|^2 = c_{|\alpha_v|}$，该值仅依赖于深度，从而确认了球面对称性。
• 当对所有 $t$ 有 $c_t = 1$ 时，该多移位算子成为联合等距算子，恢复了经典情形。
• 当 $c_{a,t} = \frac{t+d}{t+1}$ 时，该多移位算子对应于单位球上的 Dirichlet $d$-移位。
• 当 $a = d$、$a = d+1$ 和 $a = 1$ 时，该多移位算子分别对应于单位球上的 Szeg€o、Bergman 和 Drury-Arveson $d$-移位。
• 多移位算子 $S_{\boldsymbol{\lambda}_{\mathfrak{C}_a}}$ 与 $\mathscr{H}_{a,d}$ 上的乘法元组 $\mathscr{M}_{z,a}$ 酉等价，其中 $\mathscr{H}_{a,d}$ 是 $E$-值全纯函数的 reproducing kernel Hilbert space。
• reproducing kernel 的表达式为 $\kappa_{\mathscr{H}_{a,d}}(z,w) = \sum_{\alpha \in \mathbb{N}^d} D_\alpha z^\alpha \overline{w}^\alpha$，其中 $D_\alpha = (S^{*\alpha} S^\alpha|_E)^{-1}$。