[论文解读] Multistable Lévy motions and their continuous approximations

Xiequan Fan, Jacques Lévy Véhel|arXiv (Cornell University)|Mar 23, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文通过加权独立随机变量和，建立了独立增量多稳定 Lévy 运动（MsLM）的泛函中心极限定理，证明其具有随机 Hölder 连续性并可强局部化。关键贡献在于构造了 MsLM 的连续近似，并在时间可变稳定性指数 α(t) 满足温和正则性条件时，证明这些过程在每一点均呈现稳定 Lévy 运动的强局部形式。

ABSTRACT

Multistable Lévy motions are extensions of Lévy motions where the stability index is allowed to vary in time. Several constructions of these processes have been introduced recently, based on Poisson and Ferguson-Klass-LePage series representations and on multistable measures. In this work, we prove a functional central limit theorem for the independent-increments multistable Lévy motion, as well as of integrals with respect to these processes, using weighted sums of independent random variables. This allows us to construct continuous approximations of multistable Lévy motions. In particular, we prove that multistable Lévy motions are stochastic Hölder continuous and strongly localisable.

研究动机与目标

• 在 Skorokhod 拓扑下，为独立增量多稳定 Lévy 运动（MsLM）建立泛函中心极限定理。
• 通过独立随机变量的加权和，构造 MsLM 的连续近似。
• 在时间可变稳定性指数 α(t) 满足温和正则性条件时，证明 MsLM 具有随机 Hölder 连续性并可强局部化。
• 研究多稳定 Lévy 测度积分的性质，特别是其局部结构。
• 通过证明每一点的局部形式为 α(t)-稳定 Lévy 运动，将局部化理论扩展至多稳定过程。

提出的方法

• 通过 [0,1]×ℝ 上具有 Lebesgue 强度的泊松点过程 Π，表示独立增量 MsLM 的级数形式。
• 在加权 i.i.d. 随机变量（以泊松过程为索引）的框架下应用泛函中心极限定理，使其在 Skorokhod 空间 D[0,1] 中依分布收敛于 MsLM。
• 采用 MsLM 的特征函数表示：E[exp(i∑θjLI(tj))] = exp(−∫|∑θj1[0,tj](s)|^{α(s)}ds)，通过时间依赖的 α(s) 特征化该过程。
• 通过推导增量的矩界建立随机 Hölder 连续性：P(|Xr(u2)−Xr(u)|≥λ) ≤ 4C1/λ^γ [u2−u]^η，其中 2η>1 意味着局部化。
• 通过 Skorokhod 距离下的依分布收敛定义强局部化，确保缩放增量的有限维分布收敛。
• 应用切过程框架：limr↓0 (X(t+ru)−X(t))/r^{h} = Xt′(u) 在分布下成立，其中 h=1/α(t)，并在条件 (7) 下证明收敛性成立：(α(x)−α(x+t))ln t → 0 当 t↓0。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过独立随机变量的加权和，为独立增量多稳定 Lévy 运动建立泛函中心极限定理？
• RQ2 在时间可变稳定性指数 α(t) 的何种条件下，多稳定 Lévy 运动可实现强局部化？
• RQ3 多稳定 Lévy 运动的正则性性质是什么，特别是随机 Hölder 连续性？
• RQ4 如何通过泛函极限定理构造多稳定 Lévy 运动的连续近似？
• RQ5 多稳定 Lévy 测度积分的局部结构是什么，其与过程局部形式有何关联？

主要发现

• 独立增量 MsLM 满足泛函中心极限定理：某些 i.i.d. 随机变量的加权和在 Skorokhod 空间 D[0,1] 中依分布收敛于 LI(t)。
• 在增量矩界满足 2η>1 的条件下，多稳定 Lévy 运动具有随机 Hölder 连续性，其 Hölder 指数在每一点 t 处为 1/α(t)。
• 在条件 (7)：(α(x)−α(x+t))ln t → 0 当 t↓0 成立时，过程 LI(t) 在 [0,1] 中每一点 t 处均强局部化，其强局部形式为 Lα(t)(·)，即 α(t)-稳定 Lévy 运动。
• 由 Y(t)=∫₀¹ w(x)1[0,t](x)Mα(dx) 定义的加权 MsLM 在所有 x∈[0,1] 处均为 1/α(x)-强局部化，其强局部形式为 w(x)Lα(x)(·)，前提是 w 连续。
• 独立增量 MsLM LI(t) 是加权 MsLM 的特例（w(x)≡1），因此继承了强局部化性质，其局部形式为 Lα(x)(·)。
• 证明表明局部形式是非退化的，并与 α(t)-稳定 Lévy 运动一致，确认 MsLM 在局部具有自相似性，指数为 1/α(t)。