[论文解读] Multistage Distributionally Robust Mixed-Integer Programming with Decision-Dependent Moment-Based Ambiguity Sets

Xian Yu, Siqian Shen|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2020

Risk and Portfolio Optimization参考文献 34被引用 7

一句话总结

本文提出了一种多阶段分布鲁棒混合整数规划框架，采用决策依赖的矩基模糊集，实现了在内生不确定性下的鲁棒优化。该方法将子问题重构为混合整数线性规划或半定规划，并应用随机对偶动态整数规划（SDDiP）高效求解，展示了在具有决策依赖需求分布的设施选址实例中快速收敛和紧致的边界。

ABSTRACT

We study multistage distributionally robust mixed-integer programs under endogenous uncertainty, where the probability distribution of stage-wise uncertainty depends on the decisions made in previous stages. We first consider two ambiguity sets defined by decision-dependent bounds on the first and second moments of uncertain parameters and by mean and covariance matrix that exactly match decision-dependent empirical ones, respectively. For both sets, we show that the subproblem in each stage can be recast as a mixed-integer linear program (MILP). Moreover, we extend the general moment-based ambiguity set in (Delage and Ye, 2010) to the multistage decision-dependent setting, and derive mixed-integer semidefinite programming (MISDP) reformulations of stage-wise subproblems. We develop methods for attaining lower and upper bounds of the optimal objective value of the multistage MISDPs, and approximate them using a series of MILPs. We deploy the Stochastic Dual Dynamic integer Programming (SDDiP) method for solving the problem under the three ambiguity sets with risk-neutral or risk-averse objective functions, and conduct numerical studies on multistage facility-location instances having diverse sizes under different parameter and uncertainty settings. Our results show that the SDDiP quickly finds optimal solutions for moderate-sized instances under the first two ambiguity sets, and also finds good approximate bounds for the multistage MISDPs derived under the third ambiguity set. We also demonstrate the efficacy of incorporating decision-dependent distributional ambiguity in multistage decision-making processes.

研究动机与目标

• 解决未来不确定性分布依赖于前期决策的多阶段决策问题。
• 将矩基模糊集从静态情形扩展到多阶段分布鲁棒优化中的决策依赖设置。
• 针对不同类型的模糊集，开发子问题的可处理重构形式，即混合整数线性规划（MILP）或混合整数半定规划（MISDP）形式。
• 设计用于多阶段MISDP的下界和上界估计方案，通过SDDiP的前向和后向传递中连续的MILP近似实现。
• 在多种不确定性与数据设置下，评估SDDiP方法在风险中性与风险厌恶目标下的性能。

提出的方法

• 提出三种模糊集：两种基于对一阶与二阶矩的决策依赖边界，一种精确匹配经验均值与协方差矩阵。
• 将每一阶段的子问题重构为：前两种模糊集下为混合整数线性规划（MILP），第三种模糊集下为混合整数半定规划（MISDP）。
• 通过SDDiP的前向与后向传递中连续的MILP近似，开发下界与上界估计算法，以逼近MISDP子问题。
• 应用随机对偶动态整数规划（SDDiP）的变体求解具有风险中性与风险厌恶目标的多阶段问题。
• 利用实证数据构建反映决策依赖不确定性的模糊集，尤其在多阶段设施选址问题中。
• 采用基于分解的方法，通过迭代精炼切割与边界，确保前两种模糊集的收敛性，以及第三种模糊集的紧致间隙控制。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将矩基模糊集扩展至具有决策依赖不确定性的多阶段问题？
• RQ2 在决策依赖模糊集下，多阶段分布鲁棒混合整数规划中的子问题能否被重构为可处理的MILP或MISDP形式？
• RQ3 SDDiP方法在求解这些重构问题时的效率如何，特别是在风险厌恶目标下？
• RQ4 由边界估计方案生成的下界与上界质量如何，特别是针对更复杂的MISDP基模糊集？
• RQ5 与决策无关的对应方法相比，引入决策依赖模糊集如何提升解的鲁棒性与目标性能？

主要发现

• 对于前两种模糊集，SDDiP方法在中等规模实例上快速找到最优解，相对间隙始终低于4%。
• 对于第三种模糊集（经验矩匹配），下界与上界之间的间隙极小，N-DDDR的相对间隙始终在4%以内，N-DIDR的间隙在10−4以内，表明收敛性极强。
• 在N-DDDR下，最优解在第一阶段始终选择设施#1，该设施位于中心位置，对需求分布参数具有最大影响力。
• 在正态分布下，当需求变异度较低（ρ ≤ 0.4）时，模糊集会变为空集；在对数正态分布下，当变异度较高（ρ ≥ 0.8）时，模糊集也会变为空集，凸显了分布敏感性。
• 计算时间随支持集大小K、设施数量I和阶段数T的增加而上升，其中下界（LB）最耗时，因其涉及MISDP求解，而上界（UB）最快，因其基于MILP子问题。
• N-DDDR始终优于其决策无关的对应方法，证明了在分布鲁棒优化中建模决策依赖不确定性具有显著价值。