[论文解读] Multisymplectic formalism and the covariant phase

Frédéric Hélein|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 11被引用 10

一句话总结

本文建立了经典场论中多辛形式与协变相空间方法之间的严格几何联系，证明了二者等价，并为线性场论实现了显式协变的正则量子化。研究表明，在协变相空间上进行预量化的自然结果是产生创生与湮灭算符，当省略梅塔普利克修正时，真空能无需正常排序即可自然为零。

ABSTRACT

The formulation of a relativistic dynamical problem as a system of Hamilton equations by respecting the principles of Relativity is a delicate task, because in their classical form the Hamilton equations require the use of a time coordinate, which of course contradicts the Relativity. Two interesting solutions have been proposed during the last century: the covariant phase space and the multisymplectic formalism. These two approaches were inspired at the beginning by different points of view. However, as shown by works by Kijowski-Szczyrba, Forger-Romero and Vitagliano, a synthetic vision of the two theories leads probably to the most satisfactory answer to the basic question of understanding the Hamiltonian structure of relativistic fields theory.

研究动机与目标

• 建立尊重洛伦兹不变性的经典场论正则量子化的严格数学基础。
• 证明多辛形式与场论中协变相空间构造之间的等价性。
• 利用多辛几何发展自由场的几何量化解耦方案，确保显式协变性。
• 表明在此框架中，当省略梅塔普利克修正时，真空能自然为零，无需正常排序。

提出的方法

• 本文在场配置的喷射提升空间上使用多辛结构来表述场论，将经典力学中的辛几何推广至时空框架。
• 在欧拉-拉格朗日方程的解空间上定义预辛形式，使协变相空间自然具备标准辛结构。
• 通过使用辛形式将相空间上的向量场上拉至线丛上的导子，实现预量化，从而定义量子算符。
• 通过相空间上复结构相关的预量子算符构造创生与湮灭算符。
• 施加极化条件以选取协变的反全纯截面，将量子希尔伯特空间约化为福克态形式。
• 通过基灵向量场与辛形式的收缩实现应力-能量张量的预量化，从而得到能量与动量的量子算符。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用多辛形式构造经典场论的显式协变正则量子化？
• RQ2 多辛形式与协变相空间构造之间精确的几何关系是什么？
• RQ3 是否可以在场方程解空间上定义预量化方案，从而自然得到标准量子场算符而无需人为修正？
• RQ4 为何在此框架中真空能无需正常排序即可为零？梅塔普利克修正在此情境中起何作用？
• RQ5 极化选择如何影响量子希尔伯特空间的结构以及量子可观测量的形式？

主要发现

• 多辛形式与协变相空间在几何上等价，二者均源于同一变分原理。
• 在协变相空间上进行预量化可得到与标准福克空间构造一致的创生与湮灭算符量子算符。
• 通过极化条件定义的真空态满足 $\widehat{P}|0\rangle = 0$，表明无需正常排序即可实现真空能为零。
• 无需正常排序的原因在于省略了梅塔普利克修正，否则该修正将导致真空能发散。
• 应力-能量张量的预量化通过基灵向量场与辛形式的收缩实现，所得量子算符能正确再现给定参考系中的总能量。
• 量子对易子 $[\widehat{a}_f, \widehat{a}_g^*]$ 复现了标准的正则对易关系 $\hbar \int \frac{d\vec{k}}{2k^0} f(k)g(k)$。