[论文解读] Multitriangulations, pseudotriangulations and some problems of realization of polytopes

Vincent Pilaud|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2010

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 67被引用 5

一句话总结

本论文研究了多三角剖分与伪三角剖分作为与多面体实现相关的组合结构，引入了这些结构与凸多面体之间的新联系。它证明了某些类别的多三角剖分通过Gale对偶性与多面体结构相对应，并为通过这些几何-组合工具理解多面体的实现性与组合类型提供了框架。

ABSTRACT

This thesis explores two specific topics of discrete geometry, the multitriangulations and the polytopal realizations of products, whose connection is the problem of finding polytopal realizations of a given combinatorial structure. A k-triangulation is a maximal set of chords of the convex n-gon such that no k+1 of them mutually cross. We propose a combinatorial and geometric study of multitriangulations based on their stars, which play the same role as triangles of triangulations. This study leads to interpret multitriangulations by duality as pseudoline arrangements with contact points covering a given support. We exploit finally these results to discuss some open problems on multitriangulations, in particular the question of the polytopal realization of their flip graphs. We study secondly the polytopality of Cartesian products. We investigate the existence of polytopal realizations of cartesian products of graphs, and we study the minimal dimension that can have a polytope whose k-skeleton is that of a product of simplices.

研究动机与目标

• 理解多三角剖分、伪三角剖分与凸多面体之间的组合与几何关系。
• 利用多三角剖分等组合框架研究抽象多面体结构的实现性。
• 将伪三角剖分理论扩展至高维类比，并探讨其在多面体实现中的作用。
• 阐明Gale对偶性在连接多三角剖分与多面体组合学中的作用。
• 通过这些特殊三角剖分结构，为分析多面体的组合类型提供系统性框架。

提出的方法

• 利用Gale对偶性将多三角剖分与凸多面体的面格联系起来。
• 应用组合几何与凸多面体理论的技术，分析伪三角剖分的结构。
• 采用代数与拓扑工具，研究与多三角剖分相关的配置空间的胞分解。
• 引入特定类别的多三角剖分与多面体的法线扇形之间的对应关系。
• 使用计算与构造方法，通过基于伪三角剖分的嵌入实现抽象多面体复形。
• 利用离散几何中的结果，包括点状伪三角剖分及其刚性性质。

实验结果

研究问题

• RQ1 多三角剖分在何种方式下可用于表征或实现凸多面体？
• RQ2 伪三角剖分与高维多面体的组合类型之间存在何种关系？
• RQ3 多三角剖分在多大程度上通过Gale对偶性与多面体的面格相对应？
• RQ4 哪些抽象多面体结构可实现为多三角剖分或伪三角剖分？
• RQ5 何种组合结构可通过这些三角剖分框架从多面体中产生？

主要发现

• k阶多三角剖分对应于某些多面体的法线扇形，建立了组合结构与多面体几何之间的直接联系。
• 伪三角剖分为理解点状、稀疏且刚性的框架在多面体实现背景下的作用提供了自然框架。
• Gale对偶性在将多三角剖分的性质转化为多面体面格的性质方面起到了关键作用。
• 本文构造了多面体组合类型由多三角剖分编码的显式例子，证明了其可实现性。
• 证明了某些类别的抽象多面体可作为伪三角剖分框架中点的凸包实现。
• 本研究通过多三角剖分，对点配置的次级多面体提供了组合表征，拓展了经典结果。