[论文解读] Multivariable adjunctions and mates

Eugenia Cheng, Nick Gurski+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 9被引用 4

一句话总结

本文引入循环双多重范畴作为形式化多变量伴随关系及其对偶对应关系的框架，将经典的单变量对偶同构推广至n变量情形。研究证明多变量伴随关系——如张量/同态/余张量函子——构成一个循环双多重范畴，从而实现丰富范畴与代数模型范畴中等价表述的无缝转换，其应用涵盖代数张量模型范畴及awfs复合。

ABSTRACT

We present the notion of "cyclic double multicategory", as a structure in which to organise multivariable adjunctions and mates. The classic example of a 2-variable adjunction is the hom/tensor/cotensor trio of functors; we generalise this situation to n+1 functors of n variables. Furthermore, we generalise the mates correspondence, which enables us to pass between natural transformations involving left adjoints to those involving right adjoints. While the standard mates correspondence is described using an isomorphism of double categories, the multivariable version requires the framework of "double multicategories". Moreover, we show that the analogous isomorphisms of double multicategories give a cyclic action on the multimaps, yielding the notion of "cyclic double multicategory". The work is motivated by and applied to Riehl's approach to algebraic monoidal model categories.

研究动机与目标

• 将经典的对偶对应关系从单变量推广至n变量伴随关系。
• 形式化多变量伴随关系中固有的循环对称性，例如张量/同态/余张量三元组。
• 提供一个结构化框架——循环双多重范畴——以组织多变量伴随关系及其变换。
• 将该框架应用于代数张量模型范畴，尤其在awfs（代数弱因子分解系统）的背景下。
• 证明awfs的多变量伴随关系可一致复合，且保持对偶条件。

提出的方法

• 将多变量伴随关系定义为n个变量的n+1个函子，固定其中一个变量后形成伴随关系。
• 引入双多重范畴作为双范畴的推广，以处理多重映射和高阶函子。
• 通过一个对合（例如 (•) = ( )^op）在多重范畴结构上引入循环作用，形成循环双多重范畴。
• 利用对偶对应关系关联涉及左伴随与右伴随的自然变换，推广单变量情形。
• 构造一个伪函子 ˆ( )，其保持伴随关系及n变量伴随关系，这对处理awfs结构至关重要。
• 通过循环双多重范畴框架验证awfs设定下的参数化对偶（αi）满足所需的相干性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将经典的对偶对应关系从单变量推广至n变量伴随关系？
• RQ2 何种范畴结构最能捕捉多变量伴随关系（如张量/同态/余张量）中观察到的循环对称性？
• RQ3 代数弱因子分解系统（awfs）的多变量伴随关系能否在保持对偶条件的前提下复合？
• RQ4 循环双多重范畴框架如何实现丰富范畴论中等价表述的无缝转换？
• RQ5 伪函子 ˆ( ) 在保持伴随关系及促进awfs多变量伴随关系构造中起什么作用？

主要发现

• 多变量伴随关系——如张量/同态/余张量三元组——构成一个循环双多重范畴，捕捉其内在的循环对称性。
• 通过对双多重范畴的同构引入循环作用，对偶对应关系推广至n个变量。
• 通过符号密集但严谨的证明，表明 ˆ( ) 的构造作为伪函子，保持伴随关系，且关键地保持n变量伴随关系。
• awfs的多变量伴随关系可复合生成新的awfs多变量伴随关系，且复合关系在对偶条件下保持不变。
• 该框架提供了一种构造性、代数化的证明，表明从单纯集到Kan复形的同伦空间本身仍是Kan复形，通过awfs的二元伴随关系实现。
• 该结果意味着V-模型范畴之间V-函子的总导出函子在同伦范畴上具有自然的V-范畴化，通过一致的对偶关系与复合关系实现。