[论文解读] Multivariable backward-shift-invariant subspaces and observability operators

Joseph A. Ball, Vladimir Bolotnikov+1 more|ArXiv.org|Oct 20, 2006

Holomorphic and Operator Theory参考文献 30被引用 4

一句话总结

本文将经典的后移不变子空间和可观测性算子从单变量推广到多变量设置，分析了非交换 Fock 空间与交换 Arveson 空间。研究结果表明，输出稳定的多维线性系统产生可观测性算子，其值域为再生核希尔伯特空间，通过非交换与交换 Fornasini-Marchesini 系统将系统理论与函数模型联系起来。

ABSTRACT

It is well known that subspaces of the Hardy space over the unit disk which are invariant under the backward shift occur as the image of an observability operator associated with a discrete-time linear system with stable state-dynamics, as well as the functional-model space for a Hilbert space contraction operator. We discuss two multivariable extensions of this structure, where the classical Hardy space is replaced by (1) the Fock space of formal power series in a collection of $d$ noncommuting indeterminates with norm-square-summable vector coefficients, and (2) the reproducing kernel Hilbert space (often now called the Arveson space) over the unit ball in ${\mathbb C}^{d}$ with reproducing kernel $k(λ, ζ) = 1/(1 - < λ, ζ>)$ ($\lam, ζ\in {\mathbb C}^{d}$ with $\| λ\|, \| ζ\| < 1$). In the first case, the associated linear system is of noncommutative Fornasini-Marchesini type with evolution along a free semigroup with $d$ generators, while in the second case the linear system is a standard (commutative) Fornasini-Marchesini-type system with evolution along the integer lattice ${\mathbb Z}^{d}$. An abelianization map (or symmetrization of the Fock space) links the first case with the second. The second case has special features depending on whether the operator-tuple defining the state dynamics is commutative or not. The paper focuses on multidimensional state-output linear systems and the associated observability operators.

研究动机与目标

• 将经典的后移不变子空间与可观测性算子从单变量推广到多变量设置。
• 分析在自由半群演化下，非交换 Fock 空间中的多维状态-输出线性系统。
• 在交换 Arveson 空间设置下，建立可观测性算子值域与再生核希尔伯特空间之间的联系。
• 通过阿贝尔化映射统一非交换与交换框架。
• 为多维系统理论中通过可观测性算子建模算子族提供基础。

提出的方法

• 使用 d 个非交换不定元的正式幂级数的非交换 Fock 空间，其系数满足平方可和范数。
• 通过 Z 变换的系统轨迹定义非交换 Fornasini-Marchesini 系统在自由半群上的可观测性算子。
• 通过 Stein 方程分析输出稳定性，并在非交换设置下证明有界可观测性算子的存在性。
• 将相同框架应用于单位球上的交换 Arveson 空间，其核为 $ k(\lambda,\zeta) = 1/(1 - \langle\lambda,\zeta\rangle) $，采用基于格点的演化方式。
• 引入阿贝尔化映射，将非交换 Fock 空间与交换 Arveson 空间联系起来。
• 通过可观测性算子建立算子族与不变子空间上压缩移位之间的酉等价关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将后移不变子空间从 Hardy 空间推广到 d 个变量的非交换 Fock 空间？
• RQ2 在非交换设置下，可观测性算子在将值域表征为再生核希尔伯特空间方面起什么作用？
• RQ3 交换与非交换多维系统在其函数模型实现方面有何不同？
• RQ4 阿贝尔化映射在连接非交换与交换多变量系统中具有何种意义？
• RQ5 在交换情形下，可观测性算子能否实现行收缩算子族的函数模型？

主要发现

• 在非交换设置下，输出稳定的对 (C, A) 产生有界可观测性算子，其值域为 Fock 空间中的再生核希尔伯特空间。
• 在非交换情形下，可观测性算子的值域等距同构于与系统相关的函数模型空间。
• 在交换 Arveson 空间中，输出稳定、行收缩、渐近稳定的算子族可通过可观测性算子实现函数模型。
• 在交换情形下，可观测性算子的值域是 Arveson 空间中的后移不变子空间，且同构于函数模型。
• 建立了一般模型理论：若缺陷算子 $ D_{{\mathbf{T}}^{*}} $ 定义良好且 $ \mathbf{T}^* $ 满足稳定性条件，则 $ \mathcal{O}_{D_{{\mathbf{T}}^{*}},{\mathbf{T}}^{*}} $ 实现了 $ \mathbf{T} $ 与不变子空间上乘法算子族压缩之间的酉等价。
• 结果通过 Arveson 移位模型推广并恢复了交换行压缩算子的 von Neumann 不等式。