[论文解读] Multivariable Twisted Alexander Polynomial for hyperbolic three-manifolds with boundary

Jérôme Dubois, Yoshikazu Yamaguchi|arXiv (Cornell University)|Jun 8, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文引入了一种用于具有边界的双曲3-流形的多变量扭曲亚历山大多项式，利用SL(2,C)表示的雷德迈斯特 torsion。通过在拓扑和表示论条件下应用剪切-粘贴技巧，证明了该不变量为倒数多项式，并建立了覆盖公式，将微分系数与非正则SL(2,C)-雷德迈斯特 torsion 联系起来。

ABSTRACT

Abstract. We consider a sign–determined Reidemeister torsion with multivariables for a hyperbolic three–dimensional manifold with cusps. Using a cut and paste argument, we prove that this Reidemeister torsion is a polynomial invariant when provided with appropriate conditions on the topology of the manifold and SL2(C)representations of its fundamental group. Under such assumptions, it is proved that this polynomial invariant is reciprocal like the usual Alexander polynomial. It is also shown that a differential coefficient of this polynomial invariant provides the non–acyclic SL2(C)-Reidemeister torsion. Moreover, we show a covering formula for a finite abelian covering, which gives the Reidemeister torsion of a covering space by the product of those of the base space manifold. 1.

研究动机与目标

• 通过符号确定的雷德迈斯特 torsion 定义具有锥点的双曲3-流形的多变量扭曲亚历山大多项式。
• 建立该 torsion 成为多项式不变量的条件。
• 证明该多项式不变量为倒数多项式，类似于经典亚历山大多项式。
• 将多项式的微分系数与非正则SL(2,C)-雷德迈斯特 torsion 联系起来。
• 推导有限交换覆盖的覆盖公式，将覆盖的 torsion 表示为基流形 torsion 的乘积。

提出的方法

• 为具有边界的双曲3-流形使用多变量符号确定的雷德迈斯特 torsion。
• 通过在流形及其基本群的拓扑约束下分析 torsion，应用剪切-粘贴论证。
• 对基本群的SL(2,C)表示施加条件，以确保 torsion 变为多项式。
• 通过分析有限交换覆盖下 torsion 的行为，推导覆盖公式。
• 利用多项式的微分性质，恢复非正则SL(2,C)-雷德迈斯特 torsion。
• 通过拓扑和表示论约束，建立多项式不变量的对称性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种拓扑和表示论条件下，多变量雷德迈斯特 torsion 会成为多项式不变量？
• RQ2 多变量扭曲亚历山大多项式与非正则SL(2,C)-雷德迈斯特 torsion 有何关系？
• RQ3 所得的多项式不变量是否为倒数多项式，如同经典亚历山大多项式一样？
• RQ4 能否推导出覆盖公式，以从基流形的雷德迈斯特 torsion 计算有限交换覆盖空间的 torsion？
• RQ5 多项式微分系数在恢复 torsion 不变量中起什么作用？

主要发现

• 在适当的拓扑和表示论条件下，多变量扭曲亚历山大多项式被证明为倒数多项式。
• 多项式不变量的微分系数可导出非正则SL(2,C)-雷德迈斯特 torsion。
• 建立了覆盖公式，表明有限交换覆盖的雷德迈斯特 torsion 是在给定条件下基流形 torsion 的乘积。
• 该构造依赖于剪切-粘贴论证，以确保不变量的一致性和多项式性质。
• 该不变量通过多变量符号确定的雷德迈斯特 torsion 定义，将经典不变量扩展到具有边界的双曲3-流形。
• 结果将经典亚历山大多项式性质推广到SL(2,C)表示和多变量不变量的设定中。