[论文解读] Multivariate Analysis of Orthogonal Range Searching and Graph Distances

Karl Bringmann, Thore Husfeldt+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 2

一句话总结

本文研究了图直径问题的参数化复杂性，表明在 SETH 假设下，对于诸如树宽或顶点覆盖等参数，不存在 f(k)(n+m) 时间算法；但本文提出了一个针对直径与 h-index 组合参数的 f(k)(n+m) 时间算法。此外，证明了将直径与最大度数或支配数结合将导致 refuting SETH 的算法，从而为稀疏图上的参数化直径计算建立了紧致的条件下界。

ABSTRACT

We show that the eccentricities, diameter, radius, and Wiener index of an undirected n-vertex graph with nonnegative edge lengths can be computed in time O(n * binom{k+ceil[log n]}{k} * 2^k k^2 log n), where k is the treewidth of the graph. For every epsilon>0, this bound is n^{1+epsilon}exp O(k), which matches a hardness result of Abboud, Vassilevska Williams, and Wang (SODA 2015) and closes an open problem in the multivariate analysis of polynomial-time computation. To this end, we show that the analysis of an algorithm of Cabello and Knauer (Comp. Geom., 2009) in the regime of non-constant treewidth can be improved by revisiting the analysis of orthogonal range searching, improving bounds of the form log^d n to binom{d+ceil[log n]}{d}, as originally observed by Monier (J. Alg. 1980). We also investigate the parameterization by vertex cover number.

研究动机与目标

• 在强指数时间假设（SETH）下，解决图直径问题的参数化复杂性。
• 识别出在 f(k)(n + m) 时间内可计算直径的图结构参数，其中 f 为可计算函数，k 为参数。
• 探索参数组合（尤其是对现实图如社交网络有意义的参数）以实现更快的参数化算法。
• 通过证明若存在 f(k)(n + m)^{2−ε} 算法，则某些参数组合将 refuting SETH，从而建立紧致的条件性下界。

提出的方法

• 使用距离平凡性参数化方法，将特殊图类（如树）的可 tractability 结果扩展至具有小模ulator 的图。
• 通过从 CNF-SAT 的归约构造具有受控直径、支配数和无环色数的图，以证明基于 SETH 的下界。
• 引入一种新颖的构造方法，利用变量赋值、子句和辅助顶点（sij, qij）来模拟图直径中的可满足性。
• 提出 General-Problem-hardness 概念，证明以奇圈删去集为参数的直径问题与未参数化问题一样困难。
• 结合已知参数如 h-index、最大度数和支配数，推导出上下界。
• 通过用 Dijkstra 算法替代 BFS，将无权图上的算法结果转移到边权图上，保留参数化效率，仅增加对数因子。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于如树宽、顶点覆盖或反馈边数等结构图参数，直径问题是否可在 f(k)(n + m) 时间内求解？
• RQ2 在参数组合如直径与 h-index 或直径与最大度数下，参数化可 tractability 的情况如何？
• RQ3 是否存在某些参数，使得直径的 f(k)(n + m)^{2−ε} 算法将 refuting SETH？
• RQ4 h-index 与直径能否用于设计针对现实图（如社交网络）的实用且高效的参数化算法？

主要发现

• 存在一个 O(k·n) 时间算法，用于以反馈边数 k 为参数的直径问题，这是该参数类中唯一一个 k^{O(1)}(n + m) 的算法。
• 针对距离 cograph 的参数，提出一个 2^{O(k)}(n + m) 时间算法，表明在该参数下具有可 tractability。
• 以奇圈删去集为参数的直径问题是 General-Problem-hard，意味着在 SETH 下其难度等同于未参数化问题。
• 若存在一个 k^{O(1)}(n + m)^{2−ε} 时间算法用于以直径与最大度数组合参数化的直径问题，将 refuting SETH。
• 为直径与 h-index 的组合参数提供了 f(k)(n + m) 时间算法，提供了一种实用的参数化方法。
• 构造一个图，其直径为五当且仅当一个 CNF 公式可满足，证明了支配数与无环色数不足以实现 f(k)(n + m)^{2−ε} 算法而不 refuting SETH。