[论文解读] Multivariate analysis of short time series in terms of ensembles of correlation matrices

Manan Vyas, Thomas Guhr+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 23, 2018

Complex Systems and Time Series Analysis参考文献 43被引用 7

一句话总结

本文提出了一种新颖的集成方法，通过从大型但奇异的数据矩阵中随机抽取非奇异的时间序列子集，来分析多变量短时序数据，从而实现相关矩阵中特征值的稳健统计分析。该方法通过生成一组非奇异的相关矩阵，克服了奇异相关矩阵中统计性能差的问题，成功捕捉了特征值分布的主体部分和异常值，且数值模拟结果与相关Wishart集合的解析结果高度一致。

ABSTRACT

When dealing with non-stationary systems, for which many time series are available, it is common to divide time in epochs, i.e. smaller time intervals and deal with short time series in the hope to have some form of approximate stationarity on that time scale. We can then study time evolution by looking at properties as a function of the epochs. This leads to singular correlation matrices and thus poor statistics. In the present paper, we propose an ensemble technique to deal with a large set of short time series without any consideration of non-stationarity. Given a singular data matrix, we randomly select subsets of time series and thus create an ensemble of non-singular correlation matrices. As the selection possibilities are binomially large, we will obtain good statistics for eigenvalues of correlation matrices, which are typically not independent. Once we defined the ensemble, we analyze its behavior for constant and block-diagonal correlations and compare numerics with analytic results for the corresponding correlated Wishart ensembles. We discuss differences resulting from spurious correlations due to repetitive use of time-series. The usefulness of this technique should extend beyond the stationary case if, on the time scale of the epochs, we have quasi-stationarity at least for most epochs.

研究动机与目标

• 解决当 N >> T 时，由短时序数据导出的相关矩阵统计可靠性差的问题，此类矩阵仅具有 T−1 个非零特征值。
• 开发一种方法，实现对特征值分布（尤其是异常值和主体谱）的稳健统计分析，且无需假设平稳性。
• 在具有块对角和恒定相关性的模型系统上测试该方法，将数值结果与相关Wishart集合的解析预测进行比较。
• 研究在集成构建过程中重复使用时间序列对特征值异常值分布的影响。
• 展示该方法在检测非平稳或准平稳系统中早期预警信号（如临界转变前兆）方面的实用性。

提出的方法

• 构建一个 N × T 的数据矩阵，其中包含 N 个长度为 T 的时间序列，且满足 N >> T，导致相关矩阵奇异，仅具有 T−1 个非零特征值。
• 通过从原始 N 个时间序列中随机选择 m 个不重复的时间序列（m << N），构建 m × T 的数据矩阵集合，确保每个矩阵内无重复时间序列，且集合中无完全相同的矩阵。
• 为每个选定的子集计算相关矩阵，从而形成一组非奇异相关矩阵，构成非奇异随机选择集成（NSRSE）。
• 分析该集成的特征值密度和异常值分布（最大和次大特征值），并与时间序列有放回抽样的经验随机选择集成（ERSE）进行比较。
• 使用鞍点近似及微正则/正则归一化方法，对特征值分布进行建模，尤其关注尾部和异常值区域。
• 在恒定相关性和块对角相关结构下，将结果与相关Wishart集合的解析解进行验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何从由 N >> T 的短时序数据构成的奇异相关矩阵中可靠提取特征值统计信息？
• RQ2 无放回抽样（NSRSE）与有放回抽样（ERSE）对特征值异常值分布有何影响？
• RQ3 该集成的特征值分布在多大程度上与具有块对角或恒定相关结构的关联Wishart集合的解析预测一致？
• RQ4 在集成构建过程中重复使用时间序列如何扭曲特征值异常值的统计特性？
• RQ5 该集成方法是否能检测到非平稳系统中不稳定或临界转变的早期迹象，即使单个相关矩阵是奇异的？

主要发现

• NSRSE 方法成功从奇异数据矩阵中生成大规模非奇异相关矩阵集合，实现了对特征值分布的可靠统计分析。
• 该集成的主体特征值密度在恒定和块对角相关结构下，与关联Wishart集合的解析预测高度一致。
• NSRSE 中的异常特征值（最大和次大）可良好近似为高斯分布，其矩与 ERSE 显著不同，原因在于 ERSE 中重复使用时间序列。
• ERSE 中重复使用时间序列导致集成成员间相关性增强，扭曲了异常值分布并增加了方差，相比 NSRSE。
• 该方法能有效捕捉谱特征（如特征值谱中的幂律行为），即使仅使用完整时间序列的一小部分，如伊辛模型模拟所示。
• 该集成方法使更高阶相关函数（如二阶和三阶函数）的分析成为可能，而这些信息在单一奇异相关矩阵中原本不可获取。