[论文解读] Multivariate approximation by polynomial and generalised rational functions

R. Díaz Millán, Vinesha Peiris+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2021

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 17被引用 5

一句话总结

本文提出一种基于优化的多变量切比雪夫逼近方法，采用广义有理函数，证明相应的优化问题为拟凸问题，可通过结合二分法与线性规划求解。该方法在非光滑及非利普希茨函数上的逼近精度优于多项式逼近，尽管计算成本更高。

ABSTRACT

In this paper we develop an optimisation based approach to multivariate Chebyshev approximation on a finite grid. We consider two models: multivariate polynomial approximation and multivariate generalised rational approximation. In the second case the approximations are ratios of linear forms and the basis functions are not limited to monomials. It is already known that in the case of multivariate polynomial approximation on a finite grid the corresponding optimisation problems can be reduced to solving a linear programming problem, while the area of multivariate rational approximation is not so well understood.In this paper we demonstrate that in the case of multivariate generalised rational approximation the corresponding optimisation problems are quasiconvex. This statement remains true even when the basis functions are not limited to monomials. Then we apply a bisection method, which is a general method for quasiconvex optimisation. This method converges to an optimal solution with given precision. We demonstrate that the convex feasibility problems appearing in the bisection method can be solved using linear programming. Finally, we compare the deviation error and computational time for multivariate polynomial and generalised rational approximation with the same number of decision variables.

研究动机与目标

• 将此前仅用于单变量情形的广义有理逼近方法扩展至多变量函数。
• 证明即使在非单项式基函数下，多变量广义有理逼近问题仍保持拟凸性。
• 开发一种鲁棒且收敛的算法，通过二分法与凸可行性子问题求解此类问题。
• 在决策变量数量相同的情况下，比较多变量多项式与广义有理逼近的性能。
• 评估该方法在非光滑及非利普希茨函数上的有效性，其中多项式逼近效率低下。

提出的方法

• 本文将多变量切比雪夫逼近建模为多项式与广义有理函数的拟凸优化问题。
• 采用二分法——一种通用的拟凸优化技术——求解广义有理逼近问题。
• 在每次二分步骤中，当在有限网格上逼近时，可行性子问题可简化为线性规划。
• 该方法使用线性形式的比值，其中基函数不限于单项式，从而实现灵活的逼近结构。
• 该算法可保证在给定精度下收敛至最优解。
• 数值实验比较了在相同参数数量下，多项式与广义有理模型的逼近误差与计算时间。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义有理逼近能否在保持优化问题拟凸性的前提下，有效扩展至多变量函数？
• RQ2 在误差与计算时间方面，多变量广义有理逼近相较于多变量多项式逼近表现如何？
• RQ3 广义有理逼近是否在非光滑及非利普希茨函数上优于多项式逼近？
• RQ4 二分法能否高效应用于具有非单项式基函数的多变量广义有理逼近？
• RQ5 使用广义有理函数与多项式时，计算成本与逼近精度之间的权衡如何？

主要发现

• 即使基函数非单项式，多变量广义有理逼近问题仍保持拟凸性，从而可应用二分法。
• 二分法可收敛至指定精度的最优解，且可行性子问题在有限网格上可通过线性规划求解。
• 在相同决策变量数量下，广义有理逼近的最大偏差为0.1720，显著低于多项式逼近的较高误差。
• 广义有理逼近的计算时间约为12分钟（725.2468秒），而多项式逼近耗时不足1分钟。
• 尽管计算成本更高，广义有理函数能更准确捕捉非光滑及非利普希茨函数（如测试函数f(x,y)）中的突变特征。
• 所得有理逼近为R(A,B,x,y) = (0.1720 + 6.6221x² + 6.6221y²) / (1 + 4.9000x² + 4.9036y²)，表明其具备良好的形状恢复能力。