[论文解读] Multivariate extensions of the Multilevel Best Linear Unbiased Estimator for ensemble-variational data assimilation

Mayeul Destouches, Paul Mycek+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 12, 2023

Soil Geostatistics and Mapping参考文献 14被引用 8

一句话总结

本技术报告将 MLBLUE 扩展到多维情形，提出多层次的随机变量及协方差矩阵的若干估计量，并在方差最小化下讨论最优加权、区域化和 MOSAP。

ABSTRACT

Multilevel estimators aim at reducing the variance of Monte Carlo statistical estimators, by combining samples generated with simulators of different costs and accuracies. In particular, the recent work of Schaden and Ullmann (2020) on the multilevel best linear unbiased estimator (MLBLUE) introduces a framework unifying several multilevel and multifidelity techniques. The MLBLUE is reintroduced here using a variance minimization approach rather than the regression approach of Schaden and Ullmann. We then discuss possible extensions of the scalar MLBLUE to a multidimensional setting, i.e. from the expectation of scalar random variables to the expectation of random vectors. Several estimators of increasing complexity are proposed: a) multilevel estimators with scalar weights, b) with element-wise weights, c) with spectral weights and d) with general matrix weights. The computational cost of each method is discussed. We finally extend the MLBLUE to the estimation of second-order moments in the multidimensional case, i.e. to the estimation of covariance matrices. The multilevel estimators proposed are d) a multilevel estimator with scalar weights and e) with element-wise weights. In large-dimension applications such as data assimilation for geosciences, the latter estimator is computationnally unaffordable. As a remedy, we also propose f) a multilevel covariance matrix estimator with optimal multilevel localization, inspired by the optimal localization theory of Ménétrier and Auligné (2015). Some practical details on weighted MLMC estimators of covariance matrices are given in appendix.

研究动机与目标

• 推动在多忠实度下实现无偏估计的方差最小化多层次估计量构造。
• 将 MLBLUE 从标量期望扩展到随机向量和协方差矩阵。
• 提出具有标量权重、场权重和矩阵权重的估计量，包括基变换与区域化方法。
• 在大尺度地球科学应用下，讨论在预算约束下的计算成本、样本分配和模型选择。

提出的方法

• 通过在无偏约束下的方差最小化重新表述 MLBLUE 以导出最优权重。
• 将均值估计推广到随机向量的期望，推导具有场权重和矩阵权重的多维 MLBLUE。
• 引入标量权重、场权重以及带基变换的场权重以处理高维输出。
• 将该框架扩展到协方差估计和协方差矩阵的区域化，灵感来自最优区域化理论。
• 提出一种通过半正定规划实现的 MO SAP 方法以及在预算约束下的模型选择。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 MLBLUE 框架从标量期望扩展到随机向量及其协方差结构？
• RQ2 在无偏性约束下，多维 MLBLUE 的最优加权方案（标量、场和矩阵）是什么？
• RQ3 如何在 MLBLUE 中整合协方差估计，包括区域化和对高维度而言计算可行的策略？
• RQ4 在保持无偏的同时，成本感知的样本分配和模型选择方法如何实现，以最小化估计量方差？
• RQ5 在地球科学数据同化中，协方差矩阵的多层区域化是否可以被最优设计？

主要发现

• 方差最小化推导的 MLBLUE 给出多维估计量的明确最优权重。
• 标量、场和矩阵权重方案将 MLBLUE 从向量扩展到随机向量，并允许空间相关和基变换的估计量。
• 协方差估计与区域化可以被整合，且在实际的大尺度问题中具有线性尺度的计算复杂度。
• 通过半正定规划实现的实用 MO SAP 形式，支持在预算约束下的模型选择与样本分配。
• 该框架支持对标量期望、随机向量及协方差矩阵的估计，并具有关于方差的凸性性质的可证明性。