[论文解读] Multivariate Gaussian Random Fields with Oscillating Covariance Functions using Systems of Stochastic Partial Differential Equations

Xiangping Hu, Finn Lindgren+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2013

Soil Geostatistics and Mapping参考文献 42被引用 7

一句话总结

本文提出了一种新颖的方法，通过随机偏微分方程（SPDE）系统构建具有振荡协方差函数的多元高斯随机场（GRFs）。通过设计具有振荡噪声过程的三角形SPDE系统，该方法可直接控制振荡参数，同时确保协方差矩阵的非负定性，并获得稀疏精度矩阵，从而通过高斯马尔可夫随机场（GMRF）近似实现高效计算。

ABSTRACT

In this paper we propose a new approach for constructing \emph{multivariate} Gaussian random fields (GRFs) with oscillating covariance functions through systems of stochastic partial differential equations (SPDEs). We discuss how to build systems of SPDEs that introduces oscillation characteristics in the covariance functions of the multivariate GRFs. By choosing different parametrization of the equations, some GRFs can be made with oscillating covariance functions but other fields can have Matérn covariance functions or close to Matérn covariance functions. The multivariate GRFs constructed by solving the systems of SPDEs automatically fulfill the hard requirement of nonnegative definiteness for the covariance functions. The approximate weak solutions to the systems of SPDEs are used to represent the multivariate GRFs by multivariate Gaussian \emph{Markov} random fields (GMRFs). Since the multivariate GMRFs have sparse precision matrices (inverse of the covariance matrices), numerical algorithms for sparse matrices can be applied to the precision matrices for sampling and inference. Thus from a computational point of view, the \emph{big-n} problem can be partially solved with these types of models. Another advantage of the method is that the oscillation in the covariance function can be controlled directly by the parameters in the system of SPDEs. We show how to use this proposed approach with simulated data and real data examples.

研究动机与目标

• 解决构建满足非负定性的具有振荡协方差函数的多元GRFs的挑战。
• 将单变量GRFs的SPDE方法扩展到具有灵活振荡控制的多元设置。
• 通过SPDE系统利用稀疏GMRF表示，确保计算效率。
• 提供一种框架，通过参数化实现部分分量具有马尔可夫类、振荡类或混合协方差结构。
• 通过稀疏矩阵算法实现实际推断，并可与INLA集成用于贝叶斯计算。

提出的方法

• 使用三角形算子矩阵构建SPDE系统，以解耦场之间的依赖关系并减少超参数数量。
• 引入具有控制振荡频率参数的振荡噪声过程，以调控结果GRF协方差函数中的振荡特性。
• 利用SPDE系统的弱解，将多元GRFs表示为具有稀疏精度矩阵的多元GMRFs。
• 应用约束 $\kappa_{n_1}^2 = h_{11}$，以确保在非振荡噪声情况下参数的可识别性。
• 利用SPDE-GMRF关联关系，通过稀疏矩阵算法实现快速采样与推断。
• 利用算子矩阵中的参数化灵活性，控制交叉相关范围及各场特有的协方差类型。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在确保非负定性的前提下构建具有振荡协方差函数的多元GRFs？
• RQ2 何种SPDE系统结构可实现在多元GRFs中对振荡参数的直接控制？
• RQ3 如何将SPDE-GMRF关联关系扩展至多元、振荡协方差函数，以实现计算效率？
• RQ4 SPDE系统不同参数化方式如何影响结果协方差结构及模型可识别性？
• RQ5 所提出方法能否在一个单一多元模型中生成具有混合协方差类型（如马尔可夫类与振荡类）的GRFs？

主要发现

• 所提出的SPDE系统可自动确保结果多元协方差函数的非负定性。
• 协方差函数中的振荡特性由噪声过程中振荡参数 $\omega$ 直接控制。
• 三角形SPDE系统减少了超参数数量，并可明确将各分量指定为振荡或非振荡行为。
• 通过GMRF表示的多元GRF产生稀疏精度矩阵，从而可利用稀疏矩阵算法实现高效采样与推断。
• 模拟与真实数据示例表明，该方法在建模具有振荡模式的复杂空间依赖关系方面具有有效性。
• 该方法与INLA框架兼容，支持贝叶斯推断，可实际应用于真实世界的空间数据。