[论文解读] Multivariate Newton Interpolation

Michael Hecht, Karl B. Hoffmann+2 more|arXiv (Cornell University)|Dec 11, 2018

Mathematical functions and polynomials参考文献 46被引用 5

一句话总结

本文提出了一种多变量牛顿插值框架，通过一种新颖的多变量差商方案，将一元牛顿插值推广至任意维度。PIP-SOLVER 算法以 O(N²) 时间复杂度和 O(N) 内存空间计算插值多项式，并引入了满足唯一性条件的牛顿-切比雪夫节点，确保当 k > m/2 时，周期性 Sobolev 函数实现一致收敛，从而避免了龙格现象。

ABSTRACT

For $m,n \in \mathbb{N}$, $m\geq 1$ and a given function $f : \mathbb{R}^m\longrightarrow \mathbb{R}$, the polynomial interpolation problem (PIP) is to determine a unisolvent node set $P_{m,n} \subseteq \mathbb{R}^m$ of $N(m,n):=|P_{m,n}|=\binom{m+n}{n}$ points and the uniquely defined polynomial $Q_{m,n,f}\in Π_{m,n}$ in $m$ variables of degree $\mathrm{deg}(Q_{m,n,f})\leq n \in \mathbb{N}$ that fits $f$ on $P_{m,n}$, i.e., $Q_{m,n,f}(p) = f(p)$, $\forall\, p \in P_{m,n}$. For $m=1$ the solution to the PIP is well known. In higher dimensions, however, no closed framework was available. We here present a generalization of the classic Newton interpolation from one-dimensional to arbitrary-dimensional spaces. Further we formulate an algorithm, termed PIP-SOLVER, based on a multivariate divided difference scheme that computes the solution $Q_{m,n,f}$ in $\mathcal{O}\big(N(m,n)^2\big)$ time using $\mathcal{O}\big(mN(m,n)\big)$ memory. Further, we introduce unisolvent Newton-Chebyshev nodes and show that these nodes avoid Runge's phenomenon in the sense that arbitrary periodic Sobolev functions $f \in H^k(Ω,\mathbb{R}) \subsetneq C^0(Ω,\mathbb{R})$, $Ω=[-1,1]^m$ of regularity $k >m/2$ can be uniformly approximated, i.e., $ \lim_{n ightarrow \infty}||\,f -Q_{m,n,f} \,||_{C^0(Ω)}= 0$. Numerical experiments demonstrate the computational performance and approximation accuracy of the PIP-SOLVER in practice. We expect the presented results to be relevant for many applications, including numerical solvers, quadrature, non-linear optimization, polynomial regression, adaptive sampling, Bayesian inference, and spectral analysis.

研究动机与目标

• 将一元牛顿插值推广至任意维度，为多变量多项式插值提供闭式框架。
• 开发一种高效算法 PIP-SOLVER，实现在 O(N(m,n)²) 时间复杂度和 O(N(m,n)) 内存空间下的插值多项式计算。
• 提出满足唯一性条件的牛顿-切比雪夫节点，避免高维周期性 Sobolev 函数中的龙格现象。
• 建立基于所提节点集与插值方案的多项式逼近理论收敛界。
• 通过一种稳定且可扩展的插值方法，使该方法可实际应用于数值求解器、优化、回归与谱分析。

提出的方法

• 提出一种多变量差商方案，作为 m 维空间中牛顿插值的基础，将一元牛顿基推广至高维空间。
• 定义一个满足唯一性条件的节点集 P_{m,n} ⊆ ℝ^m，其基数为 N(m,n) = (m+n choose n)，确保对任意 f，存在唯一的插值多项式 Q_{m,n,f} ∈ Π_{m,n}。
• 基于多变量差商方案设计 PIP-SOLVER 算法，实现 O(N(m,n)²) 时间复杂度与 O(N(m,n)) 内存使用。
• 提出牛顿-切比雪夫节点作为满足唯一性条件的特定节点配置，其构造基于切比雪夫多项式，已被证明可避免龙格现象。
• 利用 Sobolev 空间理论，当 k > m/2 时，通过有界 Lebesgue 常数证明 Q_{m,n,f} 在 Ω = [-1,1]^m 上对周期性 f 实现一致收敛。
• 采用分层节点排序的递归构造方法，构建多变量牛顿基多项式，以确保数值稳定性和计算效率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一个通用的多变量牛顿插值框架，将一元牛顿方法推广至任意维度？
• RQ2 使用多变量差商方案计算插值多项式的计算复杂度是多少？是否可进一步优化时间与内存性能？
• RQ3 满足唯一性条件的牛顿-切比雪夫节点是否能确保周期性 Sobolev 函数在 k > m/2 时插值多项式的一致收敛？
• RQ4 当 n → ∞ 时，逼近误差的行为如何？能否利用 Sobolev 范数对收敛速率进行有界估计？
• RQ5 所提方法能否在数值求解器、回归与贝叶斯推断等实际问题中实现稳定且精确的应用？

主要发现

• PIP-SOLVER 算法以 O(N(m,n)²) 时间复杂度和 O(N(m,n)) 内存空间计算多变量插值多项式，支持高维插值的可扩展性。
• 满足唯一性条件的牛顿-切比雪夫节点被构造为：当 n → ∞ 时，对所有 f ∈ H^k(Ω,ℝ) 且 k > m/2 且 f 在 Ω = [-1,1]^m 上周期，插值误差 ||f - Q_{m,n,f}||_{C⁰(Ω)} → 0。
• 通过构造，该方法避免了周期性 Sobolev 函数的龙格现象，因为在此 Sobolev 正则性条件下 Lebesgue 常数有界。
• 数值实验验证了 PIP-SOLVER 在多种测试函数与维度下的计算性能与逼近精度。
• 理论框架将一元牛顿插值推广，并为未来扩展（如多变量重心拉格朗日或埃尔米特插值）提供了基础。
• 该方法仅适用于可计算的 f 且节点可自由选择；对于固定或散乱数据集，若无重采样则无法直接应用。