[论文解读] Multivariate normal approximation on the Wiener space: new bounds in the convex distance

Ivan Nourdin, Giovanni Peccati+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2020

Random Matrices and Applications参考文献 23被引用 5

一句话总结

本文建立了高斯场平滑泛函向量与正定协方差多元正态分布之间凸距离的精确、显式界。通过结合Malliavin-Stein方法与Schulte和Yukich（2019）提出的凸距离递归估计，作者推导出的界与1- Wasserstein距离的界一致，且无需额外的对数因子，从而在高维非独立同分布设定下提供了最优的定量近似。

ABSTRACT

We establish explicit bounds on the convex distance between the distribution of a vector of smooth functionals of a Gaussian field, and that of a normal vector with a positive definite covariance matrix. Our bounds are commensurate to the ones obtained by Nourdin, Peccati and Réveillac (2010) for the (smoother) 1-Wasserstein distance, and do not involve any additional logarithmic factor. One of the main tools exploited in our work is a recursive estimate on the convex distance recently obtained by Schulte and Yukich (2019). We illustrate our abstract results in two different situations: (i) we prove a quantitative multivariate fourth moment theorem for vectors of multiple Wiener-Itô integrals, and (ii) we characterise the rate of convergence for the finite-dimensional distributions in the functional Breuer-Major theorem.

研究动机与目标

• 推导高斯场平滑泛函向量与多元正态分布之间凸距离的显式、最优界。
• 弥合高维高斯近似中凸距离与1-Wasserstein距离界之间的差距。
• 建立多重Wiener-Itô积分的定量多变量四阶矩定理。
• 利用凸距离刻画函数型Breuer-Major定理中有限维分布收敛速率。

提出的方法

• 在Wiener空间上利用Malliavin-Stein方法进行正态近似。
• 应用Schulte和Yukich（2019）近期提出的凸距离递归估计。
• 采用Wiener-Itô混沌展开表示高斯场的光滑泛函。
• 推导出与Nourdin、Peccati和Réveillac（2010）的1-Wasserstein距离估计一致的界，且不包含对数因子。
• 将该框架应用于两个关键设定：多变量四阶矩定理与函数型Breuer-Major定理。
• 利用等周常数Γ(Σ)将凸距离控制在Wasserstein距离的范围内。

实验结果

研究问题

• RQ1 高维高斯近似中，凸距离界能否在不引入对数因子的前提下，达到与1-Wasserstein距离界相同的精确度？
• RQ2 Schulte和Yukich（2019）的递归凸距离估计如何适配到Wiener空间设定？
• RQ3 多重Wiener-Itô积分的多变量正态近似在凸距离下，最优的四阶矩条件是什么？
• RQ4 在凸距离下，函数型Breuer-Major定理中有限维分布的收敛速率如何？
• RQ5 是否能直接通过Malliavin微分范数界定凸距离，而无需以Wasserstein距离作为中间步骤？

主要发现

• 本文建立的凸距离界与Nourdin、Peccati和Réveillac（2010）的1-Wasserstein界相当，且不包含任何额外的对数因子。
• 所推导的界是最优的，即其与目前已知的最佳1-Wasserstein估计仅相差一个绝对常数。
• 证明了一个关于多重Wiener-Itô积分向量的新多变量四阶矩定理，表明四阶矩条件足以保证在凸距离下的收敛性。
• 通过凸距离刻画了函数型Breuer-Major定理中的收敛速率，为随机过程提供了精确的定量极限定理。
• 建立了界 $ d_c(\textbf{F}, N_Σ) \leq 2\sqrt{2} \Gamma(\Sigma)^{1/2} d_W(\textbf{F}, N_\Sigma)^{1/2} $，其中 $ \Gamma(\Sigma) $ 为等周常数。
• 结果在仿射变换下保持稳健，并保留了凸距离的不变性特征。